[論文レビュー] Adjacencies in Permutations

Bhadrachalam Chitturi, Krishnaveni K. S|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2016

Genome Rearrangement Algorithms参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、4種類の隣接（通常、後退、前進、前進および後退）に対して、サイズnの順列のうちちょうどk個の隣接を持つものの個数 |Pₙ(k)| を、O(n²)時間で効率的に計算するフレームワークを提案する。隣接の生成とブロック移動操作（例：接頭辞転置）との間に関係を確立し、大きなnに対して1回の移動で作られる新しい隣接の期待値が約1.5であることを示し、順列をソートするのに必要な移動回数の推定が可能になる。

ABSTRACT

A permutation on an alphabet $ Σ$, is a sequence where every element in $ Σ$ occurs precisely once. Given a permutation $ π$= ($π_{1} $, $ π_{2} $, $ π_{3} $,....., $ π_{n} $) over the alphabet $ Σ$ =$\{ $0, 1, . . . , n$-$1 $\}$ the elements in two consecutive positions in $ π$ e.g. $ π_{i} $ and $ π_{i+1} $ are said to form an \emph{adjacency} if $ π_{i+1} $ =$ π_{i} $+1. The concept of adjacencies is widely used in computation. The set of permutations over $ Σ$ forms a symmetric group, that we call P$ _{n} $. The identity permutation, I$ _{n}$ $\in$ P$_{n}$ where I$_{n}$ =(0,1,2,...,n$-$1) has exactly n$ - $1 adjacencies. Likewise, the reverse order permutation R$_{n} (\in P_{n})$=(n$-$1, n$-$2, n$-$3, n$-$4, ...,0) has no adjacencies. We denote the set of permutations in P$_{n} $ with exactly k adjacencies with P$_{n} $(k). We study variations of adjacency. % A transposition exchanges adjacent sublists; when one of the sublists is restricted to be a prefix (suffix) then one obtains a prefix (suffix) transposition. We call the operations: transpositions, prefix transpositions and suffix transpositions as block-moves. A particular type of adjacency and a particular block-move are closely related. In this article we compute the cardinalities of P$_{n}$(k) i.e. $ \forall_k \mid $P$ _{n} $ (k) $ \mid $ for each type of adjacency in $O(n^2)$ time. Given a particular adjacency and the corresponding block-move, we show that $\forall_{k} \mid P_{n}(k)\mid$ and the expected number of moves to sort a permutation in P$_{n} $ are closely related. Consequently, we propose a model to estimate the expected number of moves to sort a permutation in P$_{n} $ with a block-move. We show the results for prefix transposition. Due to symmetry, these results are also applicable to suffix transposition.

研究の動機と目的

• 4種類の隣接（通常、後退、前進、前進および後退）に対して、サイズnの順列のうちちょうどk個の隣接を持つものの個数 |Pₙ(k)| を計算すること。
• 接頭辞や接尾辞の転置などのブロック移動操作と隣接の生成との間の理論的枠組みを確立すること。
• ブロック移動を用いてPₙ内のランダムな順列をソートするのに必要な移動回数の期待値を、計算された隣接分布を活用して推定すること。
• Pₙにおける不可約順列の数がΘ(n!)であることを示し、解析すべき非自明で大きな順列の集合であることを確認すること。

提案手法

• 各隣接タイプごとに別々に処理を行い、再帰的関係と動的計画法を用いて、すべてのkに対してO(n²)時間で|Pₙ(k)|を計算する。
• 4種類の隣接タイプを定義する：タイプ1（通常）、タイプ2（後退隣接）、タイプ3（前進隣接）、タイプ4（前進および後退隣接）、それぞれが異なる境界条件を持つ。
• 最大の連続隣接ブロックを1つの代表要素に置き換えて削除する還元プロセスを適用し、より大きな値を調整することで不可約順列を得る。
• 1回のブロック移動で二重隣接（2つの新しい隣接）を作成する確率σを導出し、nが大きい場合にσ ≈ 0.5となることを示し、これにより1回の移動で期待して1 + σ ≈ 1.5個の新しい隣接が生成されることを示す。
• 鏡像順列の間の対称性を活用して計算を削減する。鏡像順列は同一の隣接数と移動要件を持つためである。
• j ≤ i における |Pⱼ(0)| の計算値に基づく予測モデルを用い、Pₙ内の順列をソートするのに必要な期待移動回数E(Pₙ)をO(n²)時間で推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4種類の隣接タイプそれぞれについて、サイズnの順列のうちちょうどk個の隣接を持つものの基数 |Pₙ(k)| は何か？
• RQ2 接頭辞転置などのブロック移動は、順列における隣接の生成とどのように関係しているか？
• RQ3 1回のブロック移動で作られる新しい隣接の期待値は何か？ これは順列をソートするのに必要な期待移動回数とどのように関連しているか？
• RQ4 j < n における |Pⱼ(0)| の小さいスケールの計算結果のみを用いて、E(Pₙ)（Pₙ内の順列をソートするのに必要な期待移動回数）を推定するモデルを構築できるか？
• RQ5 n > 9 において直接計算が困難になる状況において、E(Pₙ)を推定するための提案モデルの正確性は、nの増加に伴いどのように変化するか？

主な発見

• 4種類の隣接タイプすべてについて、すべてのkに対して|Pₙ(k)|をO(n²)時間で計算可能である。
• ブロック移動（例：接頭辞転置）1回あたりに作られる新しい隣接の期待値は1 + σであり、nが大きい場合にσ ≈ 0.5となるため、1回の移動で期待して1.5個の新しい隣接が生成される。
• 1回の移動で二重隣接（2つの新しい隣接）を作成する確率σはσ = 1/2 − 2/(n(n−1))として導出され、これは漸近的に0.5に近づく。
• Pₙにおける不可約順列の数はΘ(n!)であることが確認され、隣接のない順列の集合が指数的に大きく、構造的に重要な意味を持つことが示された。
• E(Pₙ)（順列をソートするのに必要な期待移動回数）を推定するモデルはO(n²)時間で実行可能であり、nが大きくなるに従い精度が向上する。
• 対称性のため、接頭辞転置に関する結果はそのまま接尾辞転置にも適用可能であり、フレームワークの適用範囲が拡張される。