[論文レビュー] Adjacency Graphs of Polyhedral Surfaces

Elena Arseneva, Linda Kleist+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、R³における凸多面体的表面の隣接グラフとして実現可能なグラフを調査する。すべてのグラフが任意の多角形セルで実現可能である一方で、K₅、K₅,₈₁、または非平面的3木を含まないグラフに限って、凸セルで実現可能である。主な結果として、このようなグラフにおける辺の最大数がΩ(n log n)からO(n⁹/⁵)の間であることが示され、これは平面グラフより密であるが、無限に密ではないことを示している。

ABSTRACT

We study whether a given graph can be realized as an adjacency graph of the polygonal cells of a polyhedral surface in ℝ³. We show that every graph is realizable as a polyhedral surface with arbitrary polygonal cells, and that this is not true if we require the cells to be convex. In particular, if the given graph contains K_5, K_{5,81}, or any nonplanar 3-tree as a subgraph, no such realization exists. On the other hand, all planar graphs, K_{4,4}, and K_{3,5} can be realized with convex cells. The same holds for any subdivision of any graph where each edge is subdivided at least once, and, by a result from McMullen et al. (1983), for any hypercube. Our results have implications on the maximum density of graphs describing polyhedral surfaces with convex cells: The realizability of hypercubes shows that the maximum number of edges over all realizable n-vertex graphs is in Ω(n log n). From the non-realizability of K_{5,81}, we obtain that any realizable n-vertex graph has 𝒪(n^{9/5}) edges. As such, these graphs can be considerably denser than planar graphs, but not arbitrarily dense.

研究の動機と目的

• R³における凸多面体的表面の隣接グラフとして実現可能なグラフを特定すること。
• K₅、K₅,₈₁、非平面的3木などの禁止部分グラフを含む、凸セル実現可能性の構造的障害を同定すること。
• 凸多面体的表面の隣接グラフにおける辺の最大数のタイトな漸近的境界を確立すること。
• このようなグラフを認識する問題の計算複雑性を調査すること。
• グラフ理論における広範な問題、特に彩色数の境界と接触表現との関連を接続すること。

提案手法

• リフトされた多角形グリッドと放物面埋め込みを用いて、グラフを凸多面体的表面として明示的に幾何的実現する。
• 禁止部分グラフの回避に基づく辺密度の上限を求めるために、Kővari–Sós–Turán定理を適用する。
• 超立方体の実現可能性を用いて、辺密度の下限Ω(n log n)を確立する。
• トポロジカルおよび組合せ的制約を用いて、K₅、K₅,₈₁、または非平面的3木を含むグラフの非実現可能性を証明する。
• McMullenら（1983年）の超立方体実現に関する結果を活用し、密度の上限を導出する。
• 接触表現と多角形セルの配置を分析することで、凸隣接グラフの構造的限界を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフがR³における凸多面体的表面の隣接グラフとして実現可能であるか？
• RQ2 3次元空間において凸多角形の側面接触表現を許容するための必要十分条件は何か？
• RQ3 n個の多角形を含む凸多面体的表面の隣接グラフとして可能な辺の最大数は何か？
• RQ4 このようなグラフを認識する問題は、計算的に困難である。例えば、NP困難であるか？
• RQ5 多面体的表面の隣接グラフの彩色数は、その構造的性質とどのように関係するか？

主な発見

• すべてのグラフが任意の多角形セルを用いて、多面体的表面の隣接グラフとして実現可能である。
• グラフがK₅、K₅,₈₁、または非平面的3木のいずれかを部分グラフとして含まない限り、凸セルで実現可能である。
• d次元超立方体の実現可能性により、n個の多角形を含む凸多面体的表面における辺の最大数がΩ(n log n)であることが示された。
• 禁止部分グラフK₅,₈₁とKővari–Sós–Turán定理に基づき、辺の最大数がO(n⁹/⁵)であることが導かれた。
• 平面グラフ、K₄,₄、K₃,₅、および各辺に対して少なくとも1つの分割を含むグラフの部分分割は、すべて凸セルで実現可能である。
• 平均次数12 − o(1)を示す無限個の凸多面体的表面の族が存在し、これは高いが有界な密度を示している。