[論文レビュー] Adjacency matrices of random digraphs: singularity and anti-concentration

Alexander E. Litvak, Anna Lytova+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2015

Graph theory and applications参考文献 37被引用数 43

ひとこと要約

本稿では、$n$ 頂点の均等にランダムな $d$-正則有向グラフの隣接行列が、$C \leq d \leq cn / \ln^2 n$ の範囲で、確率 $1 - C\ln^3 d / \sqrt{d}$ 以上で正則であることを確立している。主な革新点は、ランダム有向グラフに対して新しいリトルウッド–オフォルド型の反集中性を確立し、特定のパターンを持つ固定集合に頂点部分集合が接続する確率を制御することで、$d \gg \ln^2 n$ を仮定しなくてもスパースなランダム行列の特異性を解析可能にしたことにある。これは $d \to \infty$ の範囲でスパース行列に対する長年の予想を解決するものである。

ABSTRACT

Let ${\\mathcal D}_{n,d}$ be the set of all $d$-regular directed graphs on $n$ vertices. Let $G$ be a graph chosen uniformly at random from ${\\mathcal D}_{n,d}$ and $M$ be its adjacency matrix. We show that $M$ is invertible with probability at least $1-C\\ln^{3} d/\\sqrt{d}$ for $C\\leq d\\leq cn/\\ln^2 n$, where $c, C$ are positive absolute constants. To this end, we establish a few properties of $d$-regular directed graphs. One of them, a Littlewood-Offord type anti-concentration property, is of independent interest. Let $J$ be a subset of vertices of $G$ with $|J|\\approx n/d$. Let $\\delta_i$ be the indicator of the event that the vertex $i$ is connected to $J$ and define $\\delta = (\\delta_1, \\delta_2, ..., \\delta_n)\\in \\{0, 1\\}^n$. Then for every $v\\in\\{0,1\\}^n$ the probability that $\\delta=v$ is exponentially small. This property holds even if a part of the graph is "frozen".

研究の動機と目的

• ランダム $d$-正則有向グラフの隣接行列の特異確率に関する予想を解消すること、特に $d$ が $n$ に対してゆっくりと増加するスパースな場合に焦点を当てる。
• ランダム $d$-正則有向グラフの近傍構造に対して、独立した意味を持つ新しい反集中性を確立すること。
• 従来の $d \gg \ln^2 n$ を要件としていた特異性の上限の有効範囲を拡張し、$d$ が $n$ と共にゆっくりと増加する場合でも成立する境界を得ること。
• 「ほぼ定数の零ベクトル」や新しいシャッフル法といった洗練された技術を用いて、正則ランダム行列の組合せ的およびスペクトル的制約を扱うこと。
• 特異確率に対する定量的境界を提示し、$\mathcal{O}(\ln^3 d / \sqrt{d})$ のオーダーで減少させることで、スパースな範囲における先行研究を改善すること。

提案手法

• 「ほぼ定数の」零ベクトルの概念を導入し、ランダム有向グラフの近傍構造に対する新しい反集中性の議論により、このようなベクトルを除外できることを示す。
• リトルウッド–オフォルド型の反集中性を証明する：ランダム $d$-正則有向グラフとサイズ $\approx n/d$ の部分集合 $J$ に対して、各頂点が $J$ に接続するかどうかを示すベクトル $\delta = (\delta_1, \dots, \delta_n)$ は、任意の $v \in \{0,1\}^n$ をとる確率が指数的に小さくなる。
• グラフ構造を保存したまま再配置する「シャッフル」技術を用い、行の線形結合の尾確率を推定可能にする。
• 小行列に基づく被覆議論を適用する：行列 $M$ がランク $n-1$ であるならば、$M$ は多くの事象 $\mathcal{E}^{i,j}_{n-2} \cap \mathcal{E}^{i,j}(q) \cap \mathcal{E}$ に属するため、対称ペアの和集合によるバウンドが可能になる。
• ベクトルの尾を制御するためのスケーリングと切り詰めの議論を用い、近傍指示ベクトル $\delta$ の反集中性を活用する。
• 組合せ的推定と核および小行列のランクに関する確率的境界を組み合わせ、$\mathbb{P}(\delta = v)$ が指数的に小さいことを利用して、特異な構成の確率を抑え込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \to \infty$ のとき、均等にランダムな $d$-正則有向グラフの隣接行列が特異である確率は何か？
• RQ2 $d$ が $n$ と共にゆっくりと増加する場合、例えば $d \to \infty$ だが $d \ll \ln^2 n$ のとき、スパースなランダム $d$-正則有向グラフの特異確率は 1 から離れるか？
• RQ3 グラフの一部が固定されている場合でも、ランダム $d$-正則有向グラフの近傍構造に対して、リトルウッド–オフォルド型の反集中性が成立するか？
• RQ4 従来の結果が要求する $d \gg \ln^2 n$ を必要とせず、特異確率を境界づけることは可能か？
• RQ5 制限された行と列の和を持つ正則ランダム行列の文脈で、ほぼ定数の零ベクトルの構造をどのように制御できるか？

主な発見

• $C \leq d \leq cn / \ln^2 n$ の範囲で、均等にランダムな $d$-正則有向グラフの隣接行列は、確率 $1 - C\ln^3 d / \sqrt{d}$ 以上で正則である。ここで $c, C$ は絶対定数である。
• 本稿では、任意の固定部分集合 $J$（サイズ $\approx n/d$）に対して、$J$ に接続する頂点を示すベクトル $\delta$ について、$\mathbb{P}(\delta = v)$ が任意の $v \in \{0,1\}^n$ に対して指数的に小さくなるという、新しい反集中性を確立した。これはグラフの一部が凍結されている場合でも成立する。
• $\mathbb{P}(\text{特異}) \leq C\ln^3 d / \sqrt{d}$ の境界は、$d$ が $n$ と共に無限大に近づく場合に成り立ち、ヴゥらの予想がスパースな範囲で正当化された。
• 以前のクックの研究では $d \geq \omega(\ln^2 n)$ を要件としていたが、本稿では $d \leq cn / \ln^2 n$ の範囲にまで有効範囲を拡張した。
• 著者らは洗練された「シャッフル」技術と、ほぼ定数の零ベクトルの新しい解析法を導入し、スパースな正則行列における核構造の制御を可能にした。
• 重複する範囲 $\omega(\ln^2 n) \leq d \leq cn / \ln^2 n$ において、$\ln^3 d / \sqrt{d}$ は先行研究の $d^{-c}$ の境界よりも速く減少するため、定量的により強い境界が得られた。