[論文レビュー] Adjoint method for a tumour growth PDE-constrained optimization problem

Damián Knopoff, Damián Fernández+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無血管腫瘍成長の数学的モデルにおける未知パラメータを推定するため、PDE制約付き最適化問題を解くためのアドジョイント法を提示する。実験的および画像データを用いて逆問題を機能的最小化として定式化することで、パターンサーチに比べて高い精度と効率性を達成し、5%のノイズを含むデータでもパラメータ推定誤差を約1%にまで低減した。

ABSTRACT

In this paper we present a method for estimating unknown parameters that appear on an avascular, spheric tumour growth model. The model for the tumour is based on nutrient driven growth of a continuum of live cells, whose birth and death generate volume changes described by a velocity field. The model consists on a coupled system of partial differential equations whose spatial domain is the tumour, that changes in size over time. Thus, the situation can be formulated as a free boundary problem. After solving the forward problem properly, we use the model for the estimation of parameters by fitting the numerical solution with real data, obtained via in vitro experiments and medical imaging. We define an appropriate functional to compare both the real data and the numerical solution. We use the adjoint method for the minimization of this functional, getting a better performance than the obtained with the pattern search method.

研究の動機と目的

• 未知パラメータを推定するための頑健なPDE制約付き最適化フレームワークを構築すること。
• 非線形で自由境界を有するPDE系を、実験的および医用画像データに適合させる課題に対処すること。
• 勾配ベース最適化を実装することで、パターンサーチを用いた先行研究を改善すること。
• 治療への腫瘍応答を予測するために使用可能な、正確で患者特異的なパラメータ推定を可能にすること。
• 非線形性およびアドジョイント系における特異点を扱える、数値的に安定した手法を提供すること。

提案手法

• 栄養素拡散と細胞集団ダイナミクスを結合する、WardとKingの腫瘍成長モデルに基づくPDE制約付き最適化問題を定式化する。
• 数値解と観測データ（腫瘍半径および細胞密度分布）を比較するための最小二乗機能を定義する。
• 未知パラメータに関する機能の勾配を計算するため、アドジョイント系を導出する。これにより、効率的な最適化が可能になる。
• 特に移動する腫瘍境界における特異点および非線形性を扱うための数値アルゴリズムを導入する。
• アドジョイントから得られる微分を用いた勾配ベース最小化アルゴリズム（例：共役勾配）を採用し、反復的にパラメータを更新する。
• 合成データ（5%のランダムノイズあり・なし）を用いて、手法の頑健性および収束性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アドジョイント法は、腫瘍成長PDEモデルのパラメータ推定において、微分フリー最適化（例：パターンサーチ）を上回ることができるか？
• RQ2 ノイズのある実験データにフィットさせた場合、アドジョイント法は未知パラメータをどの程度正確に回復できるか？
• RQ3 データノイズ（例：5%）は、パラメータ推定プロセスの収束性および精度にどのような影響を及えるか？
• RQ4 微分フリー手法と比較して、アドジョイントベースの勾配計算は、計算効率および解の正確性をどのように向上させるか？
• RQ5 本手法は、薬剤効果や栄養素消費速度といった追加の生物学的パラメータを含めるために拡張可能か？

主な発見

• アドジョイント法は、先行研究で用いられたパターンサーチ法と比較して、著しく高い精度と高速な収束性を達成した。
• 合成データに5%のランダムノイズを含めた場合、本手法はパラメータを約1%の誤差で推定した。
• 機能値は反復回数に伴い滑らかに減少し、機能の変化が無視できるほど小さくなった時点でアルゴリズムは収束した。
• 最適化されたモデルが予測する腫瘍半径は、観測された半径と非常に良く一致しており、ズームインした際のみわずかな差が確認された（図12）。
• 図10に示すように、真の値 $ c_c $ を正確に回復できた。推定値は真の値に収束した。
• アドジョイントベースの勾配計算は、頑健でスケーラブルであり、理論的には複数の未知パラメータへの拡張が可能である。