[論文レビュー] Adjoint methods for obstacle problems and weakly coupled systems of PDE

Filippo Cagnetti, Diogo A. Gomes+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2011

Numerical methods for differential equations参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、障害問題およびハミルトニアン–ヤコビ方程式の弱く結合された系に対する正則化近似の収束速度を解析するために、随伴法が適用されている。正則化パラメータ ε に関する解の微分の一様な上限を導出することにより、ハミルトニアンの凸性を仮定しなくても、L∞ノルムにおける O(ε^{1/2}) の収束速度が確立される。これにより、随伴法の適用範囲が非凸および退化するPDEに拡張される。

ABSTRACT

The adjoint method, recently introduced by Evans, is used to study obstacle problems, weakly coupled systems, cell problems for weakly coupled systems of Hamilton-Jacobi equations, and weakly coupled systems of obstacle type. In particular, new results about the speed of convergence of common approximation procedures are derived.

研究の動機と目的

• 障害問題およびハミルトニアン–ヤコビ方程式の弱く結合された系に対する正則化近似の収束速度を分析すること。
• 従来、凸ハミルトニアンおよび弱KAM理論に用いられてきた随伴法を、非凸および退化するPDEに拡張すること。
• 正則化パララメータ ε に関する解の感度に関する定量的推定を導出すること。
• 障害制約、確率的スイッチング、および弱く結合された系における最適スイッチングに起因する特異項を制御すること。
• スイッチングダイナミクスおよび非滑らか制約を有する系における収束を研究する一般枠組みを確立すること。

提案手法

• 正則化系に随伴法を適用する：u^ε + H(x, Du^ε) + γ^ε(u^ε - ψ) = εΔu^ε in U, かつ u^ε = 0 on ∂U。
• 正則化されたPDEの形式的線形化を導出し、ε に関する感度を推定するための対応する随伴方程式を構築する。
• 部分積分および随伴解 σ^j,ε に関する推定を用いて、∂u^ε/∂ε の一様な上限を確立する。
• 最大原理を用いた主要な推定を導出し、特に障害界面付近における (γ^ε)' および γ^ε_ε を含む項の制御を行う。
• スイッチングハミルトニアンおよび障害型制約を有する連立方程式を解析することにより、弱く結合された系への方法の拡張を行う。
• L∞ノルムにおける ∂u^ε/∂ε のバインドを C/ε^{1/2} に制限する戦略に基づき、O(ε^{1/2}) の収束速度が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンが非凸である場合、障害問題における正則化解 u^ε が粘性解 u にどの程度の速度で収束するか？
• RQ2 弱く結合された系におけるスイッチングダイナミクスに起因する特異項を制御するため、随伴法をどのように適合させることができるか？
• RQ3 ハミルトニアン H の運動量変数における凸性を仮定しないで、O(ε^{1/2}) の収束速度を確立できるか？
• RQ4 系に不連続性や滑らかでないスイッチングが存在する場合、随伴解 σ^j,ε はどのように振る舞うか？
• RQ5 正則化パラメータ ε は、障害型PDEにおける解の正則性および感度をどのように制御するか？

主な発見

• 本稿では、ハミルトニアンの凸性を仮定しなくても、障害問題の正則化近似について、L∞ノルムにおける O(ε^{1/2}) の収束速度が確立された。
• 解の ε に関する微分に対する一様なバインドが導出された：||∂u^ε/∂ε||_{L∞} ≤ C/ε^{1/2} であり、これは直接的に O(ε^{1/2}) の収束速度を示している。
• 随伴法は、障害制約に起因する特異項（例：(γ^ε)'(u^ε - ψ)）を、随伴方程式の精密な解析により効果的に制御できた。
• 同様の収束推定が得られるように、障害型制約を有するハミルトニアン–ヤコビ方程式の弱く結合された系に対しても、方法が拡張された。
• 非凸または非滑らかハミルトニアンを有する退化PDEにおける収束を研究するにあたり、堅牢な枠組みが提供された。
• 結果として、随伴法が非凸およびスイッチングダイナミクスを有するPDE系において効果的に機能することを示し、弱KAM理論および最適制御における新たなツールを提供した。