[論文レビュー] Adjoint of Pair Frames

Abolhassan Fereydooni, Ahmad Safapour+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2012

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間における$(p,q)$-ペアフレームの概念を一般化し、$(\ell,\ell^*)$-ペアフレームを導入するとともに、双対空間におけるペアフレームの随伴（共役）を定義する。$(G,F)$ がバナッハ空間 $\mathrm{X}$ における$(\ell,\ell^*)$-ペアベッセルまたはフレームであれば、$(F,G)$ は双対空間 $\mathrm{X^*}$ において対応するペアベッセルまたはフレームをなすことが示され、適切な作用素条件のもとで可逆性が保たれることを証明している。

ABSTRACT

The concept of (p,q)-pair frames is generalized to (l,l^*)-pair frames. Adjoint (conjugate) of a pair frames for dual space of a Banach space is introduced and some conditions for the existence of adjoint (conjugate) of pair frames are presented.

研究の動機と目的

• 反射的バナッハ空間における$(\ell,\ell^*)$-ペアフレームへの$(p,q)$-ペアフレームの概念の一般化を図ること。
• バナッハ空間の双対空間におけるペアフレームの随伴（共役）を定義し、その性質を調査すること。
• ペアフレームの随伴が存在するための条件を確立し、ベッセル列や可逆性といったフレームの性質が保存される条件を明らかにすること。
• 随伴構成を用いて、バナッハ空間内のペアフレームとその双対空間内の同型対応との間の双対性を明らかにすること。
• シュードフレーム、アトミック分解、バナッハフレームに関する既知の結果を、ペアフレームおよびその随伴の文脈に拡張すること。

提案手法

• バナッハ系列空間 $\ell$ を用い、有界線形作用素 $T: \ell \to \mathrm{X}$ と分析作用素 $U_G: \mathrm{X} \to \mathbb{C}^\mathbb{I}$ を用いて、$(\ell,\ell^*)$-ペアベッセルおよび$(\ell,\ell^*)$-ペアフレームの概念を導入する。
• 合成作用素 $T^*$ と分析作用素 $U_G^*$ の随伴を用いて、双対空間における新しいペア $(\{W^*g_i\}, \{Vf_i\})$ を構成することで、ペアフレームの随伴を定義する。
• 特に $\ell$ がBK空間またはシュードナム系列空間である場合に、$\ell$ と $\ell^*$ の双対性を活用し、双対空間の連続性および等長同型を保証する。
• 無条件収束および置換不変性の理論を用いて、ペアフレームの無条件的および一般の場合を扱う。
• 有界性、可逆性、作用素の合成といった作用素論的道具を用い、随伴変換のもとでフレーム性質が保存されることを保証する。
• 関数解析学における既知の結果に依拠し、特に $\ell^*$ を $\ell$ 上の汎関数の係数列空間 $\ell^{\circledast}$ に同一視するリース表現定理を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間の双対空間において、$(\ell,\ell^*)$-ペアフレームの随伴が存在する条件は何か？
• RQ2 バナッハ空間 $\mathrm{X}$ におけるペアフレームを、随伴作用素を用いてその双対空間 $\mathrm{X^*}$ における対応するペアフレームに構成できるか？
• RQ3 ベッセル列やフレーム作用素の性質は、随伴構成によってどのように変化するか？
• RQ4 フレーム作用素 $S_{FG}$ の可逆性とその随伴 $S^*_{TG}$ の可逆性との関係は何か？
• RQ5 シュードフレームまたはアトミック分解の随伴が、双対空間においてもシュードフレームまたはアトミック分解のままであるのはどのような場合か？

主な発見

• $(G,F)$ がバナッハ空間 $\mathrm{X}$ における$(\ell,\ell^*)$-ペアベッセルであれば、$(F,G)$ は双対空間 $\mathrm{X^*}$ における$(\ell^*,\ell)$-ペアベッセルであり、フレーム作用素 $S_{FG}^*$ は適切に定義され、有界である。
• 有界作用素 $V, W$ に対して、$\{W^*g_i\}$ と $\{Vf_i\}$ を用いて構成されるペアフレームの随伴は、$V$ と $W$ が可逆であれば、依然としてペアフレームである。
• $\ell$ がシュードナム系列空間（CB空間）またはRCB空間である場合、双対空間 $\ell^*$ は $\ell^{\circledast}$ に等長同型であり、双対性を保証するための標準的同一視が可能となる。
• $T: \ell \to \mathrm{X}$ が有界作用素であり、$(G,T)$ が $\mathrm{X}$ におけるバナッハフレームであれば、$\mathrm{X^*}$ に属する族 $H = \{h_i\}$ が存在し、$(H, T_G)$ は $\ell^*$ に関して $\mathrm{X^*}$ におけるバナッハフレームをなす。
• $\mathrm{X}$ に$(\ell,\ell^*)$-アトミック分解が存在するための必要十分条件は、双対ペア $(F,G)$ が $\mathrm{X^*}$ において$(\ell^*,\ell)$-アトミック分解をなすことである。同じ条件のもとで成り立つ。
• ペアフレームの随伴は無条件性を保存する：$\ell$ が無条件的バナッハ系列空間であれば、$(G,F)$ が無条件的ペアフレームであれば、$(F,G)$ は $\mathrm{X^*}$ において無条件的ペアフレームである。