[論文レビュー] Adjoint orbits of semi-simple Lie groups and Lagrangean submanifolds

Elizabeth Gasparim, Lino Grama+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、半単純リー群の随伴軌道の複数の幾何的実現を確立し、旗多様体の余接 bundle および旗多様体の積と同定する。G による余接 bundle 上の正則でハミルトニアンな作用を構成し、そのモーメント写像が軌道と随伴軌道を同定することを証明する。また、反正則写像のグラフを用いてラグランジュ部分多様体を構成し、フォッカーリー圏およびレフシェッツファイブレーションのシンプレクティック的・幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We give various realizations of the adjoint orbits of a semi-simple Lie group and describe their symplectic geometry. We then use these realizations to identify a family of Lagrangean submanifolds of the orbits.

研究の動機と目的

• 半単純リー群の随伴軌道の新しい幾何的実現、特に旗多様体の余接 bundle としての実現を提供すること。
• 標準的線形作用とは異なる、余接 bundle T*F_H 上での正則でハミルトニアンな G-作用を構成すること。
• 随伴軌道を旗多様体 F_H × F_H* の積に埋め込み、シンプレクティック構造およびヘルミート構造を引き継ぐこと。
• 反正則写像のグラフおよび K-軌道を用いて、随伴軌道内のラグランジュ部分多様体を構成すること。
• これらの構成をシンプレクティックトポロジーにおけるフォッカーリー圏およびレフシェッツファイブレーションの幾何と関連付けること。

提案手法

• P_H₀-表現を用いて、随伴軌道 Ad(G)H₀ を旗多様体 F_H₀ ≅ G/P_H₀ 上のベクトル bundle として実現する。
• 関連 bundle の構成を用いて、このベクトル bundle が余接 bundle T*F_H₀ と同型であることを証明する。
• T*F_H₀ 上のハミルトニアンベクトル場のリー代数 θ(g) を構成し、g と同型であることを示し、これが G-作用に統合可能であることを示す。
• モーメント写像 μ: T*F_H₀ → g を用いて、μ が Ad(G)H₀ に全射であり、同型 Ad(G)H₀ ≅ T*F_H₀ の逆写像であることを示す。
• G-作用を用いて随伴軌道を F_H₀ × F_H₀* に埋め込み、G/Z_H₀ が開で稠密な軌道であることを特定する。
• H₀ で定義される最高ウェイトをもつ g の既約表現を用いて、V⊗V* 内の G-軌道として軌道を実現し、これによりラグランジュ部分多様体を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純リー群の随伴軌道は、どのように旗多様体の余接 bundle として実現できるか？
• RQ2 標準的線形作用とは異なる、T*F_H₀ 上に正則でハミルトニアンな G-作用を構成できるか？
• RQ3 モーメント写像は、T*F_H₀ と随伴軌道 Ad(G)H₀ の同定にどのような役割を果たすか？
• RQ4 旗多様体の積への埋め込みは、随伴軌道にシンプレクティック構造およびヘリューミート構造をどのように与えるか？
• RQ5 反正則写像のグラフから生じるラグランジュ部分多様体はどのようなものか？ そしてそれらは軌道内でどのように実現されるか？

主な発見

• 随伴軌道 Ad(G)H₀ は、G-多様体として余接 bundle T*F_H₀ と同型であり、T*F_H₀ 上の G-作用は正則でハミルトニアンである。
• モーメント写像 μ: T*F_H₀ → g は、Ad(G)H₀ への G--equivariant 微分同相写像であり、シンプレクティック同型を提供する。
• 随伴軌道は F_H₀ × F_H₀* 内の開で稠密な G-軌道として埋め込まれ、積からのシンプレクティック構造およびヘルミート構造を引き継ぐ。
• Ad(G)H₀ 内のラグランジュ部分多様体は、写像 m∘R_w₀: F_H₀ → F_H₀* のグラフとして実現され、ker ε = v⊥ という条件で特徴づけられる。
• V⊗V* 内の v₀⊗ε₀ の K-軌道は、随伴軌道と i𝔲 の交わりに対応し、R_w₀ のグラフと同定される。
• 同型 Φ: G·(v₀⊗ε₀) → Ad(G)H₀ による m∘R_w₀ のグラフの逆像は、{v⊗ρ_μ*(m)ε ∈ G·(v₀⊗ε₀) : ker ε = v⊥} である。