[論文レビュー] Adjoint quotients of reductive groups

Ting-Yu Lee|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意の可換環上の再帰的群の随伴商が基底変換に関して安定であり、最大トーラスのワイル群商と同型であることを確立する。半単純で simply connected な定型の群に対しては、随伴商はディンキンスキーム上のアフィン直線のワイエル制限と同型であり、群が準分裂で $A_{2m}$-型成分をもたないとき、シュタインバーグの十字断面は任意の可換環上に定義可能である。

ABSTRACT

Let $ G$ be a reductive group over a commutative ring $k$. In this article, we prove that the adjoint quotient $\adqG$ is stable under base change. Moreover, if $ G$ has a maximal torus $ T$, then the adjoint quotient of the torus $ T$ by its Weyl group will be isomorphic to $\adqG$. Then we focus on the semisimple simply connected group $ G$ of the constant type. In this case, $\adqG$ is isomorphic to the Weil restriction $\underset{ D/\spec k}{\prod}\aff^{1}_ D$, where $ D$ is the Dynkin scheme of $ G$. Then we prove that for such $ G$, the Steinberg's cross-section can be defined over $k$ if $ G$ is quasi-split and without $ A_{2m}$-type components

研究の動機と目的

• 任意の可換環上の再帰的群に対して随伴商 $\mathrm{G}//\mathrm{G}$ を定義し、その性質を調べること。
• 随伴商が基底変換に関して安定であり、最大トーラスのワイル群商と同型であることを証明すること。
• 定型の半単純で simply connected な群に対して、随伴商をディンキンスキーム上のアフィン直線のワイエル制限として特徴付けること。
• シュタインバーグの十字断面が任意の可換環上に定義可能となる条件を確立すること。
• 半局所環上での半単純正則元の存在およびその中心化部分群が最大トーラスであることを示すこと。

提案手法

• 随伴商 $\mathrm{G}//\mathrm{G} = \mathrm{Spec}(k[\mathrm{G}]^\mathrm{G})$ を $\mathrm{G}$ 上の $\mathrm{G}$-不変正則関数の環のスペクトルとして定義する。
• 群 $\mathrm{G}$ の $k[\mathrm{G}]$ への作用から、最大トーラス $\mathrm{T}$ に対して $\mathrm{W}$-作用が誘導され、$\mathrm{T}//\mathrm{W} = \mathrm{Spec}(k[\mathrm{T}]^\mathrm{W})$ が得られる。
• $k[\mathrm{G}]^\mathrm{G} \to k[\mathrm{T}]^\mathrm{W}$ の制限写像が、$\mathbb{Z}$ 上で $\mathrm{T}//\mathrm{W} \xrightarrow{\sim} \mathrm{G}//\mathrm{G}$ を誘導することを証明し、その後任意の可換環に拡張する。
• 半単純で simply connected な定型の群に対して、$\mathrm{G}//\mathrm{G} \cong \prod_{\mathrm{D}/\mathrm{Spec}\,k} \mathbb{A}^1_{\mathrm{D}}$ を示す。ここで $\mathrm{D}$ は $\mathrm{G}$ のディンキンスキームである。
• $\mathrm{G}$ が準分裂で $A_{2m}$-型成分をもたないとき、随伴商とアフィン直線の積との同型を用いて、$k$ 上でシュタインバーグの十字断面を構成する。
• 半局所環上では、剰余体からの持ち上げと単純なユニポテンツ群の点の上への全射性を用いて、半単純正則元が存在し、その中心化部分群が最大トーラスであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換環上の再帰的群の随伴商 $\mathrm{G}//\mathrm{G}$ は基底変換に関して安定か？
• RQ2 再帰的群 $\mathrm{G}$ が最大トーラス $\mathrm{T}$ をもつとき、$\mathrm{T}//\mathrm{W} \xrightarrow{\sim} \mathrm{G}//\mathrm{G}$ の同型は任意の可換環上で成り立つか？
• RQ3 定型の半単純で simply connected な群の随伴商は、ディンキンスキーム上のアフィン直線のワイエル制限として記述可能か？
• RQ4 どのような条件下でシュタインバーグの十字断面を任意の可換環上で定義可能か？
• RQ5 半局所環上の半単純で simply connected な群は、中心化部分群が最大トーラスであるような半単純正則元をもつか？

主な発見

• 任意の可換環 $k$ 上の再帰的群 $\mathrm{G}$ に対して、随伴商 $\mathrm{G}//\mathrm{G}$ は基底変換に関して安定である。
• 最大トーラス $\mathrm{T}$ をもつ再帰的群 $\mathrm{G}$ に対して、随伴商 $\mathrm{G}//\mathrm{G}$ は、$\mathrm{T}$ のワイル群による商 $\mathrm{T}//\mathrm{W}$ と同型である。
• 可換環 $k$ 上の定型の半単純で simply connected な群に対して、$\mathrm{G}//\mathrm{G} \cong \prod_{\mathrm{D}/\mathrm{Spec}\,k} \mathbb{A}^1_{\mathrm{D}}$ が成り立ち、ここで $\mathrm{D}$ は $\mathrm{G}$ のディンキンスキームである。
• $\mathrm{G}$ が準分裂で $A_{2m}$-型成分をもたないとき、シュタインバーグの十字断面は $k$ 上に存在する。
• 半局所環 $k$ 上では、定型の半単純で simply connected な群 $\mathrm{G}$ は、中心化部分群 $\underline{\mathrm{Centr}}_{\mathrm{G}}(g)$ が最大トーラスであるような半単純正則元 $g$ をもつ。
• このような群において、半単純正則元の中心化部分群は一般に滑らかではない。$k = \mathbb{C}[[x]]$ における $\mathrm{PGL}_{2,k}$ における反例によって示される。