[論文レビュー] Adjointable monoidal functors and quantum groupoids

Kornél Szlachányi|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、弱双代数の加群圏からベクトル空間への長距離忘却関手の特徴付けを、分離Frobenius構造を用いて行う。任意のモノイダル関手が、分離Frobenius代数上の双加群圏を介して因数分解されることを示すことにより、モノイドとバイモノイド理論を用いてTannaka双対性を弱双代数および量子群oidsへ拡張し、このような関手が基本代数に分離Frobenius構造を備えたとき、かつそのときに限り弱双代数から生じることを証明する。

ABSTRACT

Every monoidal functor G: C --> M has a canonical factorization through the category of bimodules over some monoid R in M such that the factor U: C -->_R M_R is strongly unital. Using this result and the characterization of the forgetful functors M_A -->_R M_R of bialgebroids A over R given by Schauenburg together with their bimonad description given by the author recently here we characterize the "long" forgetful functors M_A -->_R M_R --> M of both bialgebroids and weak bialgebras.

研究の動機と目的

• 量子群oidsの文脈において、強モノイダル関手から一般モノイダル関手へTannaka双対性を拡張すること。
• 弱双代数に関連する長距離忘却関手 $ G^A: \nolimits \mathcal{M}_A \to \mathcal{M}_k $ を特徴付けること。
• モノイダル関手がこのような忘却関手として生じるための必要十分条件——特に、その基底代数に分離Frobenius構造が存在すること——を特定すること。
• 基底代数にFrobeniusデータを組み込むことにより、バイモノイドによる双代数的圏の特徴付けを弱双代数へ一般化すること。

提案手法

• 任意のモノイダル関手 $ G: \mathcal{C} \to \mathcal{M} $ を、$ R = GE $ が $ G $ による単位対象の像である $ R $-双加群の圏 $ {}_R\mathcal{M}_R $ を介して因数分解すること。
• 標準的因数分解を用いて、$ G $ が本質的に強モノイダルであるための必要十分条件が、分離Frobenius構造の存在であることを示すこと。
• Schauenburgによる双代数的圏の忘却関手の特徴付けと著者のバイモノイド記述を応用し、$ G $ が $ A $ 上の双代数的構造と関連することを示すこと。
• 単位対象の像として得られる $ R = GE $ に分離Frobenius構造を導入し、関手の自然変換から得られる構造写像 $ \mu, \eta, \sigma, \psi $ を定義すること。
• 複体構造 $ \Delta(a) = \sum_i a_{(1)}s(e_i) \otimes a_{(2)}t(f_i) $ および余単位 $ \epsilon(a) = \psi(\varepsilon(a)) $ を用いて、$ A $ 上の弱双代数構造を定義し、ここで $ \sigma(1_R) = \sum_i e_i \otimes f_i $ である。
• 分離Frobenius構造と双代数的構造の整合性を用いて、$ R $ に分離Frobenius構造が存在することにより、双代数的圏 $ A $ が弱双代数に拡張されることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下でモノイダル関手 $ G: \mathcal{C} \to \mathcal{M}_k $ が弱双代数の長距離忘却関手として生じるか？
• RQ2 モノイダル関手 $ G $ による単位対象の像から、弱双代数の基底代数 $ R $ をどのように再構成できるか？
• RQ3 関手 $ G $ にどのような追加構造が存在すれば、関連する双代数的圏 $ A $ が弱双代数に拡張されるか？
• RQ4 $ R = GE $ に分離Frobenius構造が存在することは、弱双代数の忘却関手 $ G^A $ をどのように特徴付けるか？
• RQ5 関手 $ G $ のモノイダル構造、その右随伴、および $ R $ 上のFrobenius構造の相互作用は、弱双代数のTannaka型再構成をどのように導くか？

主な発見

• 任意のモノイダル関手 $ G: \mathcal{C} \to \mathcal{M}_k $ は、$ R = GE $ として、自然な因数分解を $ {}_R\mathcal{M}_R $ を介して持つ。このとき、因数 $ U: \mathcal{C} \to {}_R\mathcal{M}_R $ は厳密に単位的かつモノイダルである。
• $ k $-線形モノイダル関手 $ G $ が弱双代数の長距離忘却関手と同値であるための必要十分条件は、それがモノイド的であり、右随伴を持ち、分離Frobenius構造を備えていることである。
• 基底代数 $ R = GE $ は、$ G $ の分離Frobenius構造から引き継いだ分離Frobenius代数構造を持つ。乗法 $ \mu = G\ell_E \circ G_{E,E} $、単位 $ \eta = G_0 $、余乗法 $ \sigma = G^{E,E} \circ G\ell_E^{-1} $、余単位 $ \psi = G^0 $ である。
• 弱双代数構造 $ A $ は、$ \Delta(a) = \sum_i a_{(1)}s(e_i) \otimes a_{(2)}t(f_i) $ および $ \epsilon(a) = \psi(\varepsilon(a)) $ を用いて再構成され、ここで $ \sum_i e_i \otimes f_i = \sigma(1_R) $ であり、双代数的構造と整合的であることが保証される。
• この構成により、$ R $ に分離Frobenius構造が存在することは、双代数的圏を弱双代数に拡張するのに十分であることが示され、古典的Tannaka-Krein双対性が非可換基底代数へ一般化される。
• この結果により、基底代数に分離Frobenius構造を備えたモノイダル関手による特徴付けを通じて、弱双代数に対する完全なTannaka双対性が確立される。