[論文レビュー] Adjunction contexts and regular quasi-monads

Robert Wisbauer|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、随伴に類似した関手のペアリングを用いて、弱いモノイドとコモノイドのカテゴリカルな枠組みを導入し、任意の圏 A 上の弱い（コ）モノイドが、A とそれらに適合する（コ）モジュールの圏の間の正規ペアリングを誘導することを示している。主な貢献は、一般化された随伴の文脈から弱い（コ）モノイドを体系的に導出することであり、モジュール理論を通じてそれらの構造を統一的に扱うものである。

ABSTRACT

For functors $L:\A o \B$ and $R:\B o \A$ between any categories $\A$ and $\B$, a {\em pairing} is defined by maps, natural in $A\in \A$ and $B\in \B$, $$\xymatrix{\Mor_\B (L(A),B) \ar@ [r]^{\alpha} & \Mor_\A (A,R(B))\ar@ [l]^{\beta}}.$$ $(L,R)$ is an {\em adjoint pair} provided $\alpha$ (or $\beta$) is a bijection. In this case the composition $RL$ defines a monad on the category $\A$, $LR$ defines a comonad on the category $\B$, and there is a well-known correspondence between monads (or comonads) and adjoint pairs of functors. For various applications it was observed that the conditions for a unit of a monad was too restrictive and weakening it still allowed for a useful generalised notion of a monad. This led to the introduction of {\em weak monads} and {\em weak comonads} and the definitions needed were made without referring to this kind of adjunction. The motivation for the present paper is to show that these notions can be naturally derived from pairings of functors $(L,R,\alpha,\beta)$ with $\alpha = \alpha\dcirc \beta\dcirc \alpha$ and $\beta = \beta \dcirc\alpha\dcirc\beta$. Following closely the constructions known for monads (and unital modules) and comonads (and counital comodules), we show that any weak (co)monad on $\A$ gives rise to a regular pairing between $\A$ and the category of {\em compatible (co)modules}.

研究の動機と目的

• 随伴関手とモノイドの古典的対応を弱いモノイドへ一般化するため、単位および余単位の条件を緩和すること。
• 標準的なモノイドの制限を克服するため、部分的逆元性を有する関手ペアリングに基づくより柔軟な枠組みを導入すること。
• 弱い（コ）モノイドが、圏とその適合（コ）モジュールの圏の間の正規ペアリングから自然に生じることを示すこと。
• 関手ペアリングを通じて、弱い（コ）モノイドとそれらに関連する（コ）モジュール構造の間のカテゴリカルな双対性を確立すること。

提案手法

• 関手 $L: \A \to \B$ と $R: \B \to \A$ 間のペアリングを、自然変換 $\alpha: \Mor_\B(L(A), B) \to \Mor_\A(A, R(B))$ および $\beta$ を用いて定義し、$\alpha = \alpha \circ \beta \circ \alpha$ および $\beta = \beta \circ \alpha \circ \beta$ を満たすようにする。
• 自然変換 $\alpha$ と $\beta$ が全単射でなくてもよく、弱い逆元性条件を満たす一般化された随伴の一般化として正規ペアリングの概念を導入する。
• このようなペアリングから、$\A$ 上の弱いモノイド $RL$ と $\B$ 上の弱いコモノイド $LR$ を構成し、標準的なモノイドおよびコモノイドの構成を一般化する。
• 弱い（コ）モノイド上の適合モジュールおよびコモジュールを定義し、それらが同じ関手ペアリングを通じて元の圏と自然にペアリングを形成することを示す。
• これらのペアリングの構造を用いて、標準的なモジュール理論に類似した弱い（コ）モジュールの普遍性を回復する。
• すべての弱い（コ）モノイドが、$\A$ とそれらに適合する（コ）モジュールの圏の間の正規ペアリングを誘導することを示し、双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な単位および余単位の公理に依存せずに、一般化された随伴の文脈から弱いモノイドを体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 弱い（コ）モノイドとその適合（コ）モジュールの関係を規定するカテゴリカルな構造は何か？
• RQ3 古典的な随伴とモノイドの対応を、一般化されたペアリングフレームワークを用いて弱いモノイドへ拡張可能か？
• RQ4 関手のペアリングが、適合（コ）モジュールの圏に正規構造を誘導するための条件は何か？
• RQ5 ペアリング関係 $\alpha = \alpha \circ \beta \circ \alpha$ および $\beta = \beta \circ \alpha \circ \beta$ から、弱い（コ）モジュールの普遍的性質はどのように導かれるか？

主な発見

• 任意の圏 $\A$ 上の弱いモノイドは、その弱いモノイドに適合するモジュールの圏との間で正規ペアリングを誘導する。
• 自然変換が全単射でなくてもよく、$\alpha = \alpha \circ \beta \circ \alpha$ および $\beta = \beta \circ \alpha \circ \beta$ を満たす弱い逆元性条件を満たすことで、古典的な随伴-モノイド対応を一般化する。
• 弱いモノイド上の適合モジュールの圏は、誘導されたペアリングを通じて、標準的なモノイド理論におけるモジュールの役割を模倣する整合性のとれた構造を備える。
• 同様に、任意の圏 $\B$ 上の弱いコモノイドは、$\B$ とその適合コモジュールの圏との間で正規ペアリングを誘導する。
• この枠組みは、弱い（コ）モノイドを一般化された随伴の文脈に埋め込むことで、統一的なカテゴリカルな基盤を提供する。
• 結果として、定義されたペアリング構造を通じて、弱い（コ）モノイドとその適合（コ）モジュール圏の間の双対性が確立される。