[論文レビュー] Adjusted Jackknife Empirical Likelihood

Ying‐Ju Chen, Wei Ning|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ジャッケナイズ・エムピリカル・リクレランス（JEL）の計算的利点と、調整済みエムピリカル・リクレランス（AEL）の解の存在保証を組み合わせた、新しい手法である調整付きジャッケナイズ・エムピリカル・リクレランス（AJEL）を提案する。ジャッケナイズ・プシードオブザーヴェーションの凸包にゼロベクトルが含まれるように人工的プシードオブザーヴェーションを導入することで、AJELはすべてのパラメータ値に対してエムピリカル・リクレランス比が定義可能であることを保証するとともに、ウィルクスの定理を維持し、バーレット補正やブートストラップ補正を必要とせずに、特に小標本における信頼区間のカバレッジ確率を向上させる。

ABSTRACT

Jackknife empirical likelihood (JEL) is an effective modified version of empirical likelihood method (EL). Through the construction of the jackknife pseudo-values, JEL overcomes the computational difficulty of EL method when its constraints are nonlinear while maintaining the same asymptotic results for one sample and two-sample U statistics. In this paper, we propose an adjusted version of JEL to guarantee that the adjusted jackknife empirical likelihood (AJEL) statistic is well-defined for all the values of the parameter, instead of restricting on the convex hull of the estimation equation. The properties of JEL have been preserved for AJEL.

研究の動機と目的

• 非線形制約がある場合に、特にU統計量の設定において、エムピリカル・リクレランス（EL）の計算的制限を解消すること。
• ジャッケナイズ・エムピリカル・リクレランス（JEL）において、推定方程式の凸包にゼロベクトルが含まれない場合に、エムピリカル・リクレランス比が未定義となる問題を克服すること。
• 調整済みエムピリカル・リクレランス（AEL）の解の安定性と、JELの計算の簡便性を統合し、U統計量に適用可能な手法を構築すること。
• 1標本および2標本のU統計量に対して、AJELにおけるウィルクスの定理を確立し、対数リクレランス比が漸近的にカイ二乗分布に従うことを保証すること。
• バーレット補正やブートストラップ補正を必要とせずに、標準のJELと比較して、特に小標本における信頼区間のカバレッジ確率を向上させること。

提案手法

• 非線形制約を線形化するために、ジャッケナイズ・プシードオブザーヴェーション $\widehat{V}_i = nU_n - (n-1)U_{n-1}^{(-i)}$ を構築する。
• ゼロベクトルがプシードオブザーヴェーションの凸包に含まれるように、$a_n = \log n / 2$ を用いて人工的プシードオブザーヴェーション $\widehat{V}_{n+1} = -a_n U_n$ を導入する。
• $n+1$ 個のプシードオブザーヴェーションに対して調整済みエムピリカル・リクレランスを適用し、確率重み $p_i$ を用いて、$\sum p_i = 1$ および $\sum p_i (\widehat{V}_i - \theta) = 0$ を満たすように、$L(\theta) = \max \prod_{i=1}^{n+1} p_i$ を定義する。
• モーメント条件を満たす $\lambda$ を解くことで、調整付き対数リクレランス比 $\ln R(\theta) = -\sum_{i=1}^{n+1} \ln(1 + \lambda (\widehat{V}_i - \theta))$ を導出する。
• 正則性条件の下で、AJELにおけるウィルクスの定理を確立し、$-2\ln R(\theta) \xrightarrow{d} \chi^2_1$ を示す。
• 得られたピボット統計量を用いて、$P(X < Y)$ や $P(X < Y)$ の差といったU統計量で定義されるパラメータの信頼区間を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調整済みエムピリカル・リクレランスフレームワークをジャッケナイズ・エムピリカル・リクレランス設定に拡張し、すべてのパラメータ値に対してリクレランス比が定義可能になるようにできるか？
• RQ2 提案されたAJEL手法は、JELと同等の漸近的分布的性質（ウィルクスの定理）を維持するとともに、有限標本におけるカバレッジ精度を向上させるか？
• RQ3 特に小標本において、AJELはJELと比較してカバレッジ確率と区間長にどのような差異を示すか？
• RQ4 AJELは、ブートストラップ補正やバーレット補正を必要とせずに、U統計量を含む実世界のデータに適用可能か？
• RQ5 人工的プシードオブザーヴェーションの導入が、元のJEL手法の効率性とロバストネスを保持するか？

主な発見

• 人工的観測値を追加することで、ジャッケナイズ・プシードオブザーヴェーションの凸包にゼロベクトルが含まれることを保証することで、AJELはすべてのパラメータ値に対してエムピリカル・リクレランス比が定義可能であることを実現する。
• シミュレーションでは、AJELがJELよりもカバレッジ確率を向上させることを示しており、特に小標本において顕著である：$(n1,n2)=(10,10)$ の場合、90%信頼区間でAJELは86.0%（JELは83.5%）のカバレッジを達成する。
• $(n1,n2)=(15,15)$ の場合、95%信頼区間でAJELは88.5%（JELは87.8%）のカバレッジを達成し、一貫した改善が確認された。
• DMDデータ例では、AJELは $P(X<Y)$ について90%信頼区間（0.8101, 0.9071）および95%信頼区間（0.7984, 0.9145）を算出し、JELと比較してわずかな差異しか示さなかったが、解の存在が保証された。
• 診断精度の差（$P(X^1<Y^1) - P(X^2<Y^2)$）に関しては、AJELは90%信頼区間（0.1065, 0.2813）および95%信頼区間（0.0890, 0.2983）を算出し、CKがHレベルよりも効率的であることを支持した。
• AJELはウィルクスの定理を保持しており、$-2\ln R(\theta) \xrightarrow{d} \chi^2_1$ が成り立ち、標準的な正則性条件の下で信頼区間の漸近的妥当性が保証される。