[論文レビュー] ADM formulation and Hamiltonian analysis of Coincident General Relativity

Fabio D’Ambrosio, Mudit Garg+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、曲率ではなく非計量性に基づく一般相対性理論の形式である共時一般相対性理論（CGR）のADM分解とハミルトニアン解析を実施する。CGRが曲率理論とは異なった境界項とゲージ条件の役割を有するものの、正確に2つの物理的自由度を媒介することを示しており、数値相対性理論および正準量子重力理論における潜在的な利点を示唆している。

ABSTRACT

We consider a simpler geometrical formulation of General Relativity based on non-metricity, known as Coincident General Relativity. We study the ADM formulation of the theory and perform a detailed Hamiltonian analysis. We explicitly show the propagation of two physical degrees of freedom, as it should, even though the role of boundary terms and gauge conditions is significantly altered. This might represent an alternative promising new route for numerical relativity and canonical quantum gravity. We also give an outlook on the number of propagating degrees of freedom in non-linear extension of non-metricity scalar.

研究の動機と目的

• 共時一般相対性理論（CGR）をADM 3+1形式に再定式化し、正準重力理論および数値相対性理論への応用を可能にする。
• CGRのハミルトニアン構造を解析し、非動的 lapse および shift フィールドに由来する制約の性質と役割を特に検討する。
• CGRにおける伝搬する自由度の数を特定し、標準一般相対性理論と比較する。
• CGRにおける境界項とゲージ条件の変更が、正準量子化および数値的時間発展に与える影響を検討する。
• 非線形 $f(\mathcal{Q})$ の非計量性重力理論における自由度の初期評価を提供する。

提案手法

• アフィン接続をゼロとする共時ゲージを採用し、非計量性スカラー $\mathcal{Q}$ に基づく作用に理論を簡略化する。
• ADM分解を用いて時空を3+1分割し、lapse $N$、shift $N^i$、空間計量 $\gamma_{ij}$ を用いて計量を表現する。
• 非計量性テンソルを空間的超曲面に射影し、部分積分を用いて作用をADM変数の形に再書き換えする。
• lapse および shift を非動的ラグランジュ乗数と特定し、ハミルトニアン形式で4つの一次的制約を導出する。
• ディラックの制約解析を適用し、制約を第一類または第二類に分類し、物理的位相空間次元を計算する。
• 非計量性スカラー $\mathcal{Q}$ とリッチスカラーの双対性を活用し、境界項が異なるにもかかわらず、シンプレクティック構造が標準一般相対性理論と等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CGRのADM形式は、一般相対性理論の標準ADM形式と比較して、動的変数および制約の点でどのように異なるか？
• RQ2 CGRにおける伝搬する物理的自由度の数は何か？ これは標準一般相対性理論とどのように比較されるか？
• RQ3 境界項とゲージ条件はCGRにおいてどのように再定義されるか？ これにより物理的ハミルトニアンおよび数値的時間発展にどのような影響を与えるか？
• RQ4 非線形 $f(\mathcal{Q})$ 重力理論における伝搬する自由度の数は何か？ その数を制限する制約は何か？
• RQ5 CGRにおける変更された制約構造が、数値相対性理論または正準量子重力理論において利点をもたらす可能性はあるか？

主な発見

• CGRは正確に2つの物理的自由度を媒介しており、非計量性に基づく形式であるにもかかわらず、標準一般相対性理論と整合的であることが確認された。
• CGRにおける lapse および shift フィールドは4つの一次的制約を生成し、これらは第一類であり、10成分の計量配置空間から8つの自由度を消去する。
• 非計量性スカラー $\mathcal{Q}$ とリッチスカラーの双対性のおかげで、CGRのシンプレクティック構造は標準一般相対性理論と等価であるが、作用は境界項の違いを除いて一致しない。
• 境界項とゲージ条件はCGRにおいて一般相対性理論とは著しく異なる役割を果たしており、動的性は同一であるにもかかわらず物理的ハミルトニアンが異なる。
• f(\mathcal{Q}) 重力理論では、6つの伝搬自由度が唯一の妥当な選択肢であると分析から示唆され、4つの一次的制約がすべて第二類でなければならない。
• f(\mathcal{Q}) の摂動解析から、$\psi$、$E$、$E^i$、$h_{ij}$ のみが伝搬モードであることが判明し、宇宙論的背景において運動項が消えるため $E^i$ は強い結合問題を抱える可能性がある。