[論文レビュー] Admissible $Q-$curvatures under isometries for the conformal GJMS operators

Frédéric Robert|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、固定された点を持たない等長群 $G$ の作用下で、球面 $\mathbb{S}^n$ 上の滑らかで $G$-不変な関数 $f$ が、標準計量の共形類内での $Q$-曲率として実現可能となるための条件を確立する。共形不変性を有する GJMS作用素と重み付きエネルギー汎関数を用いた変分法的手法により、$f$ が点 $p$ において $n-2k$ 階の零点を持ち、局所的に極値条件を満たすならば、$f$ は $Q$-曲率として許容可能であることが証明される。

ABSTRACT

We give sufficient conditions on a function invariant under the action of an isometry group to be Branson's Q-curvature of a metric in a given conformal class, using the conformal GJMS operators.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体、特に $\mathbb{S}^n$ 上での $Q$-曲率の共形規定問題を解くこと。
• 与えられた滑らかな関数 $f$ が、固定された共形類内の計量の $Q$-曲率として実現可能となるための条件を同定すること。
• Kazdan-Warner の既知の障害を、群作用による対称性の組み込みによって拡張し、規定問題の安定化を図ること。
• 関数 $f$ が点で高次に零点を持ち、$G$-不変性を満たす場合に、$f$ が $Q$-曲率として許容可能であることを確立すること。
• G-不変 $L^{2^\star}$-ノルムと GJMS作用素の共形不変性を用いた、$Q$-曲率規定のための変分的枠組みを構築すること。

提案手法

• 共形類を $\hat{g} = u^{\frac{4}{n-2k}}g$ でパrametrize し、$Q$-曲率規定問題を非線形偏微分方程式 $P_g u = \frac{n-2k}{2} f u^{2^\star - 1}$ に変換する。
• GJMS作用素 $P_g$ の共形不変性（$P_{\hat{g}}\varphi = u^{1-2^\star} P_g(u\varphi)$）を用いて、共形計量間の曲率を関連付ける。
• 点 $p$ の軌道上の $m$ 個の点に中心を置いた Poincaré 型バブル $u_{\sigma_i(p),\beta}$ を用いて、$G$-不変な試験関数 $u_\beta = \sum_{i=1}^m u_{\sigma_i(p),\beta}$ を構成する。
• asymptotic 展開を用いて $\beta \to 1^+$ のときの Rayleigh 商 $I_h(u_\beta) = \frac{\int u_\beta P_h u_\beta \, dv_h}{\left(\int f u_\beta^{2^\star} \, dv_h\right)^{2/2^\star}}$ を推定する。
• 点 $p$ における $f$ の最初の $n-2k$ 階の微分が消えることによる相殺効果を活用し、分母の誤差を制御することで、商が最適定数以下に保たれることを保証する。
• sharp Sobolev 不等式と標準バブル $U_1$ の極値性に基づく変分的議論を適用し、$I_h(u_\beta) < \frac{|O_G(p)|^{2k/n}}{f(p)^{2/2^\star} K(n,k)}$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで $G$-不変な関数 $f$ が $\mathbb{S}^n$ 上で、標準共形類内の計量の $Q$-曲率として実現可能となるための条件は何か？
• RQ2 関数 $f$ が点 $p$ において最初の $n-2k$ 階の微分が消えることで、$f$ の $Q$-曲率としての許容可能性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 等長群による対称性の導入によって、$Q$-曲率規定問題の不安定性を克服できるか？
• RQ4 軌道の大きさ $|O_G(p)|$ が $f$ の許容可能性に果たす役割は何か？
• RQ5 対称性制約下で $Q$-曲率方程式の解の構成を可能にする変分的枠組みは存在するか？

主な発見

• 関数 $f$ が $G$-不変であり、点 $p$ で $n-2k$ 階の零点を持ち、すべての $x \in \mathbb{S}^n$ に対して $\frac{|O_G(p)|^{2k/n}}{f(p)^{2/2^\star}} \leq \frac{|O_G(x)|^{2k/n}}{f(x)^{2/2^\star}}$ を満たすならば、$f$ は $Q$-曲率として許容可能である。
• この構成により、$Q_g = f$ かつ $G \subset \mathrm{Isom}_g(\mathbb{S}^n)$ を満たす計量 $g \in [h]$ が得られる。
• すべての $\beta > 1$ で $\beta \to 1^+$ のとき、Rayleigh 商 $I_h(u_\beta)$ は $I_h(u_\beta) < \frac{|O_G(p)|^{2k/n}}{f(p)^{2/2^\star} K(n,k)}$ を満たし、最小化子の存在を示唆する。
• 誤差項の漸近的挙動は $d_\beta \sim \Lambda_{p,G} (\beta^2 - 1)^{(n-2k)/2}$ で制御され、$\beta \to 1^+$ のとき減少し、収束が保証される。
• $n = 2k+1$ の場合、$\nabla^i f(p) = 0$ $(i = 1,\dots,n-2k)$ の条件は $f$ が点 $p$ で1次に零点を持つことと等価となり、基準が単純化される。
• 関数 $f$ が $Q_h$ に近い必要はなく、点 $p$ での高次微分の消滅のみを要件とするため、Moser や Delano€-Robert の対称性に基づくアプローチを一般化している。