[論文レビュー] Admissible states and physical constraints preserving numerical schemes for special relativistic magnetohydrodynamics

Kailiang Wu, Huazhong Tang|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特殊相対論的磁気流体力学（RMHD）における物理的制約を保全する（PCP）数値スキームの数学的基盤を確立し、許容状態集合 𝒢 の明示的・同値な表現を導出する。𝒢 の凸性を証明し、離散的発散自由磁場を組み込んだ一般化されたラックス＝フレイドリッヒス分裂性質を導入することで、CFL 条件下で物理的整合性が保証される 1D 及び 2D RMHD における初めての高次精度 PCP スキームの構築に成功した。

ABSTRACT

The paper studies mathematical properties of the admissible state set $\mathcal G$ of relativistic magnetohydrodynamics(RMHD), paving a way for developing numerical schemes for RMHDs with the solutions in $\mathcal G$, referred as physical-constraints-preserving (PCP) schemes. To overcome the difficulties arising from the extremely strong nonlinearities and no explicit formulas of the primitive variables and the flux vectors with respect to the conservative vector, two equivalent forms of $\cal G$ with explicit constraints on the conservative vector are skillfully discovered. The first form is derived by analyzing polynomial roots and transferring successively, and used to prove the convexity of $\mathcal G$ with the aid of semi-positive definiteness of the second fundamental form of a hypersurface. While the second form is derived based on the convexity, and followed by the orthogonal invariance of $\cal G$. The Lax-Friedrichs (LxF) splitting property does not hold generally for the nonzero magnetic field, but by a constructive inequality and pivotal techniques, we discover the generalized LxF splitting properties, combining the convex combination of some LxF splitting terms with a discrete divergence-free condition of the magnetic field. Based on the above theoretical analyses, several one- and two-dimensional PCP schemes are studied for the first time. In the 1D case, a first-order accurate LxF type scheme is first proved to be PCP under the CFL condition, and then the high-order accurate PCP schemes are proposed with the PCP limiter. In the 2D case, the discrete divergence-free condition and PCP property are analyzed for a first-order accurate LxF type scheme, and followed by two sufficient conditions for high-order accurate PCP schemes. The current analyses reveal in theory for the first time that the discrete divergence-free condition is closely connected with the PCP property.

研究の動機と目的

• 特殊相対論的磁気流体力学（RMHD）における許容状態集合 𝒢 の数学的構造を確立し、数値解の物理的妥当性を保証すること。
• RMHD における極めて強い非線形性および原始変数・フラックスの明示的公式の欠如に起因する困難を克服し、保存変数に対する同値な明示的制約を導出すること。
• 超曲面の第二基本形式の半正定性を用いて、許容状態集合 𝒢 の凸性を証明すること。
• 離散的発散自由磁場を組み込んだ一般化ラックス＝フレイドリッヒス分裂性質を構築し、安定かつ物理的整合性を持つ数値スキームの実現を可能にすること。
• CFL 条件下で物理的制約を保証する 1次元および2次元の高次精度物理的制約を保全する（PCP）スキームを初めて構築すること。

提案手法

• 多項式の根の解析と超曲面幾何学を活用して、許容状態集合 𝒢 の2つの同値な明示的表現を導出し、第二基本形式の半正定性を用いて凸性を確立する。
• 𝒢 の凸性を活用して、直交不変性を示す第二の同値表現を導出し、構造的明確性と数値スキーム設計の向上を図る。
• 磁場の離散的発散自由条件を構築し、それとラックス＝フレイドリッヒス項の凸結合を組み合わせることで、一般化ラックス＝フレイドリッヒス分裂を導入する。
• 離散的発散自由条件が PCP 性質と理論的に密接に関連していることを証明し、数値スキームにおける安定性と物理的整合性の実現を可能にする。
• CFL 条件下で PCP 性質を保証する 1次元および2次元の 1次ラックス＝フレイドリッヒス型スキームを設計し、PCP リミッターを用いて 1次元で高次精度に拡張する。
• 離散的発散自由制約と再構成・フラックスリミッティング技術を組み合わせることで、2次元における高次精度 PCP スキームの2つの十分条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊相対論的磁気流体力学における許容状態集合 𝒢 を定義する明示的で数学的に厳密な制約は何か？
• RQ2 原始変数やフラックスの明示的公式が存在しない状況において、許容状態集合 𝒢 の凸性をどのように厳密に証明できるか？
• RQ3 磁場の離散的発散自由条件が数値スキームにおける物理的制約の保全にどのように寄与するか？
• RQ4 標準ラックス＝フレイドリッヒス分裂が非ゼロ磁場下で失敗する状況において、RMHD に対して一般化ラックス＝フレイドリッヒス分裂を構築できるか？
• RQ5 2次元 RMHD スキームにおいて、高次精度を保ちながら物理的制約を保全するための十分条件は何か？

主な発見

• 強い非線形性にもかかわらず、許容状態集合 𝒢 の数学的構造を厳密に分析可能にする2つの同値な明示的表現が導出された。
• 超曲面の第二基本形式の半正定性を用いて、許容状態集合 𝒢 が凸であることが証明された。
• 磁場の離散的発散自由条件とラックス＝フレイドリッヒス項の凸結合を組み合わせることで、一般化ラックス＝フレイドリッヒス分裂性質が構築された。
• 離散的発散自由条件が物理的制約を保全する性質と理論的に密接に関連していることが示され、スキーム設計における重要な知見が得られた。
• 1次元における1次ラックス＝フレイドリッヒス型スキームが標準的な CFL 条件下で PCP 性質を保証することが証明され、PCP リミッターを用いた高次精度への拡張が可能となった。
• 2次元における高次精度 PCP スキームの2つの十分条件が導出され、多次元における安定かつ物理的整合性を持つ数値解法を構築する理論的基盤が確立された。