[論文レビュー] Admissible Trading Strategies under Transaction Costs

Walter Schachermayer|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2013

Economic theories and models被引用数 6

ひとこと要約

本稿は取引コスト下でのトレーディング戦略に対する基本的な許容性の原則を確立し、一貫した価格系のもとで、終端時における非負の資産価値が、すべての以前の時刻においても非負の資産価値を意味することを示している。本稿は、通貨単位に基づく許容性と通貨単位に依存しない許容性の2つの概念を導入し、それらが双対側で局所 martingale および真の martingale 性質と同等であることを示している。また、反例を用いて、摩擦市場においてこのような結果がいかに壊れやすいかを示している。

ABSTRACT

A well known result in stochastic analysis reads as follows: for an $\mathbb{R}$-valued super-martingale $X = (X_t)_{0\leq t \leq T}$ such that the terminal value $X_T$ is non-negative, we have that the entire process $X$ is non-negative. An analogous result holds true in the no arbitrage theory of mathematical finance: under the assumption of no arbitrage, a portfolio process $x+(H\cdot S)$ verifying $x+(H\cdot S)_T\geq 0$ also satisfies $x+(H\cdot S)_t\geq 0,$ for all $0 \leq t \leq T$. In the present paper we derive an analogous result in the presence of transaction costs. A counter-example reveals that the consideration of transaction costs makes things more delicate than in the frictionless setting.

研究の動機と目的

• 取引コストが存在する市場への古典的アービッジ・フリー原理の拡張—非負の終端時資産価値が、すべての時刻で非負の資産価値を意味することの拡張。
• 摩擦市場における通貨単位に基づく許容性と通貨単位に依存しない許容性の違いを明確化すること。
• 摩擦のない市場における許容性と超 martingale 性質の同等性が、取引コストの下では成立しなくなることの示唆。
• 取引コストが存在する際、許容性がすべての時刻で非負の資産価値を意味しないことを示す反例の提供。
• 許容性条件と一貫した価格系、および同等測度下での局所 martingale との間の双対的枠組みの確立。

提案手法

• 予測可能で有界変動を示す現金および株式ヘッジの過程を用いた、2資産の自己資金戦略フレームワークの導入。
• ポートフォリオ価値過程の下限による許容性の定義により、無限大の損失が生じないことを保証。
• 一貫した価格系（CPS）を、同等の局所 martingale 測度の摩擦市場における類似物として適用。
• 2段階の構成法を用いる：まず、[0, 1/4] で3つの可能な値を取る martingale 株価過程を定義し、次に [1/4, 1] で決定的低下をモデル化。
• 終端時において高い資産価値を達成するが、中間時刻に大きな損失を被る戦略の構築により、許容性が破られる事例を示す。
• 条件付き期待値と停止時刻を用いて、戦略が自己資金的であり、必要な不等式を満たすように保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的アービッジ・フリー原理—非負の終端時資産価値が、すべての時刻で非負の資産価値を意味する—は、取引コストが存在する市場へ拡張可能か？
• RQ2 取引コストが存在する状況下で、適切な許容性の概念とは何か？また、一貫した価格系とはどのように関係するか？
• RQ3 戦略が許容的（下限がある）であるが、取引コストが存在する中で中間時刻に負の資産価値をとる可能性があるか？
• RQ4 通貨単位に基づく許容性と通貨単位に依存しない許容性は、ポートフォリオダイナミクスにどのような違いをもたらすか？
• RQ5 許容性が摩擦市場におけるすべての時刻で非負の資産価値を意味しないことを示す反例は存在するか？

主な発見

• 本稿は、一貫した価格系のもとで、非負の終端時資産価値を持つ自己資金戦略が、すべての停止時刻においても非負の価値を持つことを証明し、古典的結果を摩擦市場へ拡張した。
• 通貨単位に基づく許容性条件は、局所 martingale の双対的性質に対応するが、通貨単位に依存しない許容性は真の martingale 性質に対応する。
• 許容的（下限がある）であるが、正の確率で時刻 t=1/2 において任意に大きな負の資産価値をとる戦略の反例を構築した。
• この反例は、時刻 1/4 まで martingale である株価過程を用い、その後決定的低下を示し、条件付き期待値を用いて自己資金的制約を維持する。
• 時刻 1/2 におけるポートフォリオの価値は M→∞ のとき −∞ に近づくため、許容性が中間損失を防げないことが示された。
• この構成により、古典的許容性原理が取引コストの下で成立しなくなることが確認され、許容性条件の明確な定式化の必要性が強調された。