[論文レビュー] Admixture and Drift in Oscillating Fluid Flows

V. A. Vladimirov|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2010

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 51被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、高周波振動流におけるスカラー輸送を分析するための新規な二時定数平均化法（TTAM）を開発した。この方法により、$1/\omega$ および $\delta$ に依存するスケーリングパラメータによって支配される、臨界的、亜臨界的、超過臨界的な異なる漸近的族が特定された。ドリフト速度は、異なる漸近的経路においても $O(1)$ のままであり、平均化された運動は一次に純粋なドリフトを示し、二次に擬似拡散が現れることが示された。

ABSTRACT

The motions of a passive scalar $\hat{a}$ in a general high-frequency oscillating flow are studied. Our aim is threefold: (i) to obtain different classes of general solutions; (ii) to identify, classify, and develop related asymptotic procedures; and (iii) to study the notion of drift motion and the limits of its applicability. The used mathematical approach combines a version of the two-timing method, the Eulerian averaging procedure, and several novel elements. Our main results are: (i) the scaling procedure produces two independent dimensionless scaling parameters: inverse frequency $1/ω$ and displacement amplitude $δ$; (ii) we propose the \emph{inspection procedure} that allows to find the natural functional forms of asymptotic solutions for $1/ω o 0, δ o 0$ and leads to the key notions of \emph{critical, subcritical, and supercritical asymptotic families} of solutions; (iii) we solve the asymptotic problems for an arbitrary given oscillating flow and any initial data for $\hat{a}$; (iv) these solutions show that there are at least three different drift velocities which correspond to different asymptotic paths on the plane $(1/ω,δ)$; each velocity has dimensionless magnitude ${O}(1)$; (v) the obtained solutions also show that the averaged motion of a scalar represents a pure drift for the zeroth and first approximations and a drift combined with \emph{pseudo-diffusion} for the second approximation; (vi) we have shown how the changing of a time-scale produces new classes of solutions; (vii) we develop the two-timing theories of a drift based on both the \emph{GLM}-theory and the dynamical systems approach; (viii) examples illustrating different options of drifts and pseudo-diffusion are presented.

研究の動機と目的

• 特定の応用に依存しない、高周波振動流におけるスカラー輸送の一般的漸近的枠組みを構築すること。
• $(1/\omega, \delta)$ 平面上の漸近的スケーリング経路に基づいて解を分類し、臨界的、亜臨界的、超過臨界的な族を導入すること。
• ドリフト運動の概念を厳密に定義し、振動流におけるその適用限界を分析すること。
• ドリフト現象の二時定数理論とEuler的平均化、力学系のアプローチを統合すること。
• 任意の振動速度場および初期スカラー条件に対して、明示的な漸近的解を導出すること。

提案手法

• スカラー場をゆっくり変化する成分（$\overline{a}$）と速い変動成分（$\widetilde{a}$）に分解するため、修正された二時定数法と高速時間平均化（TTAM）を組み合わせて適用する。
• 逆周波数 $1/\omega$ と変位振幅 $\delta$ の2つの独立な次元なしパラメータを導入し、漸近的経路を $\varepsilon_\alpha = 1/\omega^\alpha$ でパラメータ化する。
• 相関項 $\langle\widetilde{\boldsymbol{u}}\widetilde{a}\rangle$ の役割に基づき、解を臨界的（$\alpha = 1/2$）、亜臨界的（$\alpha > 1/2$）、超過臨界的（$\alpha < 1/2$）な族に分類するための検査手順を採用する。
• $\mathbb{B}$-および $\mathbb{T}$-射影を用いて、方程式の平均（ゆっくり）成分と振動（速い）成分を分離し、体系的な漸近展開を可能にする。
• 3次近似における三重相関項から、ドリフト速度 $\overline{\boldsymbol{V}}_1 = -\frac{1}{3}\langle[[\widetilde{\boldsymbol{\xi}},\widetilde{\boldsymbol{u}}],\widetilde{\boldsymbol{\xi}}]\rangle$ を導出する。
• 時間スケール変換を適用して新たな解クラスを生成し、平均化方程式における一貫性チェックにより結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(1/\omega, \delta)$ 平面上の異なる漸近的スケーリング経路が、ドリフト速度の構造と大きさにどのように影響を与えるか？
• RQ2 振動流におけるドリフト運動の適用限界と形態は何かを決定づけるか？また、擬似拡散はいつ現れるか？
• RQ3 GLM理論と力学系のアプローチを統合する、二時定数と平均化を組み合わせた統一的枠組みは、振動流におけるドリフト現象を説明できるか？
• RQ4 初期条件および任意の振動速度場が、スカラー輸送の漸近的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 相関項 $\langle\widetilde{\boldsymbol{u}}\widetilde{a}\rangle$ は、ドリフトおよび拡散効果の次数を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 漸近的枠組みにより、$1/\omega$ および $\delta$ のスケーリングに基づき、臨界的（$\alpha = 1/2$）、亜臨界的（$\alpha > 1/2$）、超過臨界的（$\alpha < 1/2$）な3つの異なる族が特定された。
• ドリフト速度 $\overline{\boldsymbol{V}}_1 = -\frac{1}{3}\langle[[\widetilde{\boldsymbol{\xi}},\widetilde{\boldsymbol{u}}],\widetilde{\boldsymbol{\xi}}]\rangle$ は $O(1)$ であり、3次近似における三重相関項から生じる。
• 零次および一次近似において、平均化されたスカラー運動は純粋なドリフトである。2次では、ドリフトと擬似拡散が結合する。
• 本手法により、$\widehat{a}$ のすべての次数における明示的解が得られ、$\overline{a}_0$、$\overline{a}_1$、$\overline{a}_2$、$\overline{a}_3$ が含まれる。$\overline{a}_0$ は $\left(\frac{\partial}{\partial t} + \overline{\boldsymbol{V}}_1 \cdot \nabla\right)\overline{a}_0 = 0$ を満たす。
• $\alpha = 1/4$ の場合、零次方程式は $(\overline{\boldsymbol{V}}_1 \cdot \nabla)\overline{a}_0 = 0$ に簡略化され、異なるスケーリング下での別種のドリフト構造が示された。
• 本枠組みは任意の初期データおよび速度場を扱える。各次数において $\mathbb{B}$-および $\mathbb{T}$-射影を用いて一貫性のある解が導出された。