[論文レビュー] AdS/CFT in Fractional Dimension and Higher Spin Gravity at One Loop

Evgeny Skvortsov, Tung Tran|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、自由および臨界的大N O(N)スピン模型が整数次元および分数次元において、CFTにおける球面自由エネルギーと、ユークリッドAdSにおけるタイプA高スピン重力の1ループ分配関数を一致させることで、1ループAdS/CFT双対性を確立している。双対性は、(ϕ²)²の二重トレース項による自由エネルギーの差が、高スピン理論における境界条件の変更によって再現されることを示しており、4−ϵ展開を超えて、非整数次元へと結果を拡張している。

ABSTRACT

Large-$N$, $ε$-expansion or the conformal bootstrap allow one to make sense of some of conformal field theories in non-integer dimension, which suggests that AdS/CFT may also extend to fractional dimensions. It was shown recently that the sphere free energy and the $a$-anomaly coefficient of the free scalar field can be reproduced as a one-loop effect in the dual higher-spin theory in a number of integer dimensions. We extend this result to all integer and also to fractional dimensions. Upon changing the boundary conditions in the higher-spin theory the sphere free energy of the large-$N$ Wilson-Fisher CFT can also be reproduced from the higher-spin side.

研究の動機と目的

• 1ループ計算を用いて、AdS/CFT双対性を非整数次元へと拡張すること。
• 整数次元および分数次元の両方において、自由および臨界的大N O(N)ベクトル模型の球面自由エネルギーを再現すること。
• 二重トレース項 (ϕ²)² によって引き起こされる自由エネルギーの差が、高スピン理論における境界条件の変更によって捉えられることを示すこと。
• タイプA高スピン重力の1ループ分配関数の一致を、整数次元に限らず、すべての次元、非整数次元を含めて一般化すること。

提案手法

• 大Nおよびε展開技術を用いて、非整数dにおける自由および臨界的ベクトル模型の一般化された球面自由エネルギー F̃ = sin(πd/2) log Z_{S^d} を計算する。
• ゼータ関数正則化およびスピンsの場に対する修正ゼータ関数を用いて、ユークリッドAdS_{d+1}におけるタイプA高スピン重力の1ループ分配関数を導出する。
• スピンsの場の行列式を計算するために、νに依存するスペクトル関数を用いた修正ゼータ関数 ζ′_ν,s(0) を用いる。境界条件の違いを反映する。
• 1ループAdS分配関数とCFTの球面自由エネルギーを比較し、1/N展開の各次数において一致を確認する。
• 異なる境界条件（Δ = d−2 対 Δ = 2）に起因するゼータ関数の欠損を評価し、すべてのスピンについて合計するとそれが消えることを示す。
• Hurwitzゼータ関数およびその微分に関する恒等式を適用し、次元全体にわたるゼータ関数正則化の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AdS/CFT双対性は、1ループレベルにおいて分数次元へと拡張可能か？
• RQ2 自由および臨界的大N O(N)ベクトル模型の球面自由エネルギーは、非整数次元における高スピン重力の1ループ分配関数から再現可能か？
• RQ3 高スピン理論における境界条件の変更が、二重トレース項 (ϕ²)² に起因する自由エネルギーの変化を再現するか？
• RQ4 タイプA高スピン理論のAdS_{d+1}における1ループ分配関数は、すべてのd（非整数dを含む）においてCFT側と整合的か？

主な発見

• 非整数dにおける自由スカラー場の一般化された球面自由エネルギー F̃ は、ガンマ関数および sin(πu) を含む特定の積分で与えられ、1ループAdS結果と一致する。
• 高スピン理論におけるAdS分配関数の1ループ補正は、すべての整数次元および分数次元における大Nウィルスン＝フィッシャーCFTの球面自由エネルギーを正確に再現する。
• 二重トレース項 (ϕ²)² に起因する自由エネルギーの差は、高スピン理論における境界条件を Δ = d−2 から Δ = 2 に切り替えることで再現される。
• 異なる境界条件に起因するゼータ関数の欠損は、すべてのスピンについて合計すると消えるため、1ループ分配関数の整合性が保証される。
• 修正ゼータ関数のアプローチにより、高スピン重力における1ループ行列式が、整数次元だけでなく分数次元においてもCFT側と一致することが確認された。
• 解析接続およびゼータ関数正則化を用いて、d=3,4,5における以前の1ループ一致結果を、非整数dを含むすべてのdへと一般化した。