[論文レビュー] Advanced Coarsening Schemes for Graph Partitioning

Ilya Safro, Peter Sanders+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2012

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、代数的多重グリッド（AMG）の原則と代数的距離を組み合わせることで、マルチレベルグラフ分割における粗化の高度なスキームを導入し、分割品質を向上させている。AMGに基づく粗化と代数的距離を用いることで、不規則なグラフ、特に大規模な分割数において、粗化時間のわずかな増加で、解の品質が顕著に向上することが示された。

ABSTRACT

The graph partitioning problem is widely used and studied in many practical and theoretical applications. The multilevel strategies represent today one of the most effective and efficient generic frameworks for solving this problem on large-scale graphs. Most of the attention in designing the multilevel partitioning frameworks has been on the refinement phase. In this work we focus on the coarsening phase, which is responsible for creating structurally similar to the original but smaller graphs. We compare different matching- and AMG-based coarsening schemes, experiment with the algebraic distance between nodes, and demonstrate computational results on several classes of graphs that emphasize the running time and quality advantages of different coarsenings.

研究の動機と目的

• マルチレベルグラフ分割における粗化フェーズの改善。これは、近年の研究において、精錬フェーズほど注目されてこなかった。
• 代数的距離を粗化における接続性の指標として用いる影響を評価すること、特に従来のマッチングベースのスキームと比較しての評価。
• KaFFPaフレームワークに、新規のAMGにインspiredされたバランスの取れた粗化スキームを設計・統合し、高品質な分割を実現すること。
• 多様なグラフクラス、特に分割が困難なインスタンスを含む、粗化時間と分割品質のトレードオフを評価すること。
• AMG粗化が不規則で大規模なグラフにおいて、マッチングベースのスキームを上回る性能を示すかどうかを調査すること。

提案手法

• マルチグリッド法にインspiredされ、代数的距離を用いてノードの集約を決定する、新しいAMGベースの粗化スキームを提案する。
• 代数的距離をノード間の接続強度の指標として導入し、ヤコビの過緩和反復によって計算する。
• 従来のマッチングベースの粗化スキーム（例：ECO, STRONG）に代数的距離を統合し、エッジ選択を強化する。
• 粗化により、次第に小さなグラフの階層を構築するマルチレベルフレームワークを採用する。その後、精錬とアンコarseningを実行する。
• 粗化スキームの評価に、KaFFPaをベースとする分割フレームワークを用い、高速かつ強力な精錬設定下で評価を実施する。
• 粗化の計算量をマッチングベースの方法と同等に保つために、通常1次程度の制限付き順序の補間を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的距離を粗化に組み込むことで、大規模かつ不規則なグラフにおける分割品質が向上するか？
• RQ2 AMGベースの粗化は、従来のマッチングベースの粗化と比較して、解の品質と実行時間の両面で優れているか？
• RQ3 代数的距離の計算に伴う粗化時間の増加と、分割品質の向上のトレードオフは何か？
• RQ4 AMG粗化は、分割が困難なグラフ、特に高k値での性能を安定化させられるか？
• RQ5 一部のケースにおいて、アンバランスなAMG集約がバランスの取れた集約よりも優れた結果をもたらすことはあるか？

主な発見

• 代数的距離を用いたAMG粗化は、不規則なグラフにおいて、特に大規模な$k$（例：$k=64$）の場合に、マッチングベースのスキームを上回る顕著な分割品質の向上を示した。
• 代数的距離を組み込んだECO-ALGバージョンは、すべてのベンチマークでECOを上回る品質を達成しており、特に困難なインスタンスでその差が顕著に現れた。
• 大規模なグラフ（例：448,695頂点を持つauto）では、ECO-ALGの粗化時間は総実行時間の3％未満にとどまり、オーバーヘッドは無視できるほど小さい。
• ベンチマークIIIにおいて、AMG-ECOはF-CYCLEを上回り、$k$値が高くなるほどECO-ALGと同等またはそれを上回る品質を達成した。
• グラフサイズが大きくなると、精錬時間の支配的になるため、品質と粗化時間のトレードオフは、次第に重要性を失う。
• アンバランスなAMG集約が、一部のケースでバランスの取れたものよりも優れた結果をもたらすことがあり、集約のバランス調整のさらなる検討が求められる。