[論文レビュー] Advanced field-theoretical methods in stochastic dynamics and theory of developed turbulence

Michal Hnatič, Juha Honkonen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、確率的力学および乱流の場理論的手法を前進させ、特に乗法的ノイズと再正規化のあいまいさを扱うために、確率微分方程式およびマスター方程式の解の関数的表現を定式化した。多パラメータ再正規化スキーム（特に最小減算）を用いて等方的乱流を分析し、ラングミュール群を用いてスピン性および非等方性による対称性の破れ効果を明らかにした。また、反応拡散系における乱流の拡散効果を定量的スケーリング行動とともに分析した。

ABSTRACT

Selected recent contributions involving fluctuating velocity fields to the rapidly developing domain of stochastic field theory are reviewed. Functional representations for solutions of stochastic differential equations and master equations are worked out in detail with an em- phasis on multiplicative noise and the inherent ambiguity of the functional method. Application to stochastic models of isotropic turbulence of multi-parameter expansions in regulators of dimensional and analytic renormalization is surveyed. Effects of the choice of the renormalization scheme are investigated. Special attention is paid to the role and properties of the minimal subtraction scheme. Analysis of the consequences of symmetry breaking of isotropic turbulence with the use of the renormalization-group method is demonstrated by the effects due to helicity, strong and weak anisotropy. A careful description is given of the influence of turbulent advection on paradigmatic reaction-diffusion problems.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズを伴う確率微分方程式およびマスター方程式を解くための関数的場理論的手法を発展および体系化すること。
• フォッカー・プランク方程式およびランジュバン方程式の文脈において、時間順序および正規順序の処理の違いが生じる関数的表現の本質的あいまいさを解消すること。
• 多パラメータ再正規化スキーム（特に最小減算）を用いて、等方的乱流およびその対称性の破れ不安定性を研究すること。
• 再正規化群を用いて、スピン性および強い・弱い非等方性が発達乱流のスケーリング行動に与える影響を調査すること。
• 場理論的および再正規化技法を用いて、ノイズが存在する反応拡散系における乱流の拡散効果が動的およびスケーリング行動に与える影響を分析すること。

提案手法

• フォッカー・プランク方程式およびランジュバン方程式の経路積分形式を用いて、確率過程の関数的積分表現を導出する。
• 演算子関数の正規順序形への写像を可能にする還元作用素 $\mathcal{P} = \exp\left(\frac{\delta}{\delta\varphi}\Delta_{12}\frac{\delta}{\delta\pi}\right)$ を導入する。
• 期待値を計算するために、源 $A(t)$ および $B(t)$ を用いた生成関数形式を適用し、$\mathcal{G}(A) = \mathrm{Tr}\left[\hat{U}(t_i,0)\hat{\rho}\hat{U}(0,t_f) N\left\{\exp\left(\int \cdots \right)\right\}\right]$ で表す。
• 非可換演算子を含むリウヴィル・フォンノイマン方程式を取り扱うために、時間順序指数および正規順序を組み合わせた相互作用表示を用いる。
• 紫外発散を摂動的乱流モデル展開で取り扱うために、次元的正則化および解析的正則化を適用する。
• 最小減算スキームに注目して、等方的および非等方的乱流におけるスケーリング行動および臨界指数を再正規化群を用いて分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的ノイズを伴う確率微分方程式に対して、関数的積分表現を一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 場理論的定式化における時間順序および正規順序のあいまいさは、確率過程の記述にどのような役割を果たすか？
• RQ3 特に最小減算を含む異なる再正規化スキームは、等方的乱流のスケーリング行動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 スピン性および非等方性が、発達乱流の臨界指数に与える再正規化群効果は何か？
• RQ5 乱流の拡散効果は、ノイズが存在する反応拡散系のダイナミクスおよびスケーリング行動をどのように変化させるか？

主な発見

• 関数的表現が一貫するためには、等時間における時間順序積が正規順序積に定義され、$\Delta_{12}(t,t) = 0$ が保証される必要がある。
• 最小減算スキームは、等方的乱流モデルにおける普遍的スケーリング行動を分離するのに特に有効であることが示された。
• スピン性および非等方性による対称性の破れは、臨界指数およびスケーリング則を変化させる別個の再正規化群フローを引き起こす。
• 乱流の拡散効果は、反応拡散系に非自明な補正をもたらし、有効な反応率およびスケーリング次元を変更する。
• 再正規化群解析により、乱流モデルにおける結合定数がスケール依存の振る舞いを示すことが明らかになった。これは、量子場理論における走る結合定数に類似している。
• 正則化における多パラメータ展開の使用により、紫外発散の体系的解析および再正規化による除去が可能になった。