[論文レビュー] Advanced Optimal Control Methods for Spin Systems

David L. Goodwin|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced NMR Techniques and Applications参考文献 273被引用数 11

ひとこと要約

本学位論文は、解析的に計算された2次方向微分を用いたニュートン型アルゴリズムを用いて、スピン系における2次収束性を有する最適制御手法を導入し、磁気共鳴応用分野での収束速度を向上させることを目的としている。この手法は正則化を用いて良好に条件付けられたヘシアン行列を保証し、固体状態NMR、電子スピン共鳴、およびスピンゲルトへの磁化移行実験において高精度な制御を達成しており、関数評価回数を最小限に抑えることができる。

ABSTRACT

Work within this thesis advances optimal control algorithms for application to magnetic resonance systems. Specifically, presenting a quadratically convergent version of the gradient ascent pulse engineering method. The work is formulated in a superoperator representation of the Liouville-von Neumann equation. A Newton-grape method is developed using efficient calculation of analytical second directional derivatives. The method is developed to scale with the same complexity as methods that use only first directional derivatives. Algorithms to ensure a well-conditioned and positive definite matrix of second directional derivatives are used so the sufficient conditions of gradient-based numerical optimisation are met. A number of applications of optimal control in magnetic resonance are investigated: solid-state nuclear magnetic resonance, magnetisation-to-singlet pulses, and electron spin resonance experiments.

研究の動機と目的

• 2次微分情報を利用することで、磁気共鳴系の最適制御アルゴリズムの収束速度を向上させること。
• 最適化中にヘシアン行列を良好に条件付けられ、正定値を保つことで、数値的安定性と収束性を確保すること。
• 固体状態NMR、磁化からスピンゲルトへの移行、およびESR実験を含む、挑戦的なスピン系への応用を実施すること。
• 効率的な数値的手法を用いて、制御パルス最適化に必要な実験評価回数を削減すること。
• 実験的環境での実装を想定した、ロバストで滑らかな制御パルスの実現を可能とすること。

提案手法

• 制御場に対する忠実度関数の2次方向微分を解析的に計算することで、ニュートン-GRAPPA（Newton-GRAPE）法を構築する。
• 制御下の開放的量子系を記述するため、リウヴィル＝フォンノイマン方程式のスーパーオペレーター表現を採用する。
• ヘシアン行列の正定値性を維持し、正則化を実現するため、コレスキー分解とトラスト領域法を適用する。
• 行列指数関数および方向微分の計算を高速化するため、クリロフ部分空間法とプロパゲーター再利用技術を用いる。
• パラメータ化されたパルス形状の制御を、区分的定数近似を用い、パワー制約およびロバストネス制約を満たすためにノルム二乗および漏れ出力ペナルティを導入する。
• 実験的環境でのパルス形状最適化を実現するため、ネルダーミード法および多次元探索アルゴリズムを用いてフィードバック制御ループを統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次最適化手法は、1次最適化手法と比較して、スピン系の最適制御における収束速度を顕著に向上させることができるか？
• RQ2 計算複雑度の増加を伴わずに、量子制御に応用可能な解析的2次方向微分を効率的に計算・利用する方法は何か？
• RQ3 ヘシアンに基づく最適化をスピン系に適用する際、数値的安定性と収束性を保証する正則化手法は何か？
• RQ4 本手法は、磁化からスピンゲルトへの移行および固体状態NMR実験における制御忠実度をどの程度向上させられるか？
• RQ5 実世界のフィードバック制御シナリオにおいて、実験的ノイズおよびハードウェア制約下でも、本手法はどの程度の性能を示すか？

主な発見

• ニュートン-GRAPE法は2次収束性を達成し、1次勾配上昇法と比較して収束速度が著しく優れていた。
• OOP-ESEEM実験におけるWURSTパルス最適化には、わずか119回の実験評価で完了し、正規化された目的関数値1.28を達成した。
• 2パルスHahnエコー実験では、ネルダーミード法が341回の実験で収束し、最終的な目的関数値0.98を達成した。これは強力な信号強化を示している。
• コレスキー分解とトラスト領域法によるヘシアン正則化により、悪条件問題でさえも正定値性と安定した収束性が確保された。
• 実験的フィードバック最適化による検証を通じて、最小限のパワーと漏れ出力を実現したロバストで滑らかな磁化からスピンゲルトへの移行パルスが実現された。
• プロパゲーター再利用とクリロフ部分空間法により計算コストが削減され、1次微分に基づく手法と同等のスケーリング特性を達成した。