[論文レビュー] Aeppli Cohomology Classes Associated with Gauduchon Metrics on Compact Complex Manifolds

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、コンpakto複素多様体上に、双次数$(n-1,n-1)$のモンジュ＝アンペール型方程式を導入し、正性および正規化制約の下でその楕円型性と一意性を証明する。主な貢献は、ガウディュシュォン錐内にある各エーププライコhomology類に対し、それに関連する標準的ガウディュシュォン計量を構成することであり、$(n-1)$-乗根構成を用いて$(1,1)$-形式と$(n-1,n-1)$-形式の計量の間に双対性を確立する。

ABSTRACT

We propose the study of a Monge-Ampère-type equation in bidegree $(n-1,\,n-1)$ rather than $(1,\,1)$ on a compact complex manifold $X$ of dimension $n$ for which we prove uniqueness of the solution subject to positivity and normalisation restrictions. Existence will hopefully be dealt with in future work. The aim is to construct a special Gauduchon metric uniquely associated with any Aeppli cohomology class of bidegree $(n-1,\,n-1)$ lying in the Gauduchon cone of $X$ that we hereby introduce as a subset of the real Aeppli cohomology group of type $(n-1,\,n-1)$ and whose first properties we study. Two directions for applications of this new equation are envisaged: to moduli spaces of Calabi-Yau $\partial\bar\partial$-manifolds and to a further study of the deformation properties of the Gauduchon cone beyond those given in this paper.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体上での$(1,1)$-形式と$(n-1,n-1)$-形式の間の双対性を、$(n-1)$-乗根構成を用いて確立すること。
• 双次数$(n-1,n-1)$における実エーププライコhomology群内でのガウディュシュォン錐の定義とその研究。
• 各cohomology類ごとに一意に定まる特別なガウディュシュォン計量を特定する、双次数$(n-1,n-1)$におけるモンジュ＝アンペール型方程式の提案。
• カービー＝ヤウ$ abla\bar{\partial}$-多様体のモジュライ空間およびガウディュシュォン錐の変形論への応用の基盤を築くこと。

提案手法

• 正の$(n-1,n-1)$-形式の$(n-1)$-乗根を用いて、対応する正の$(1,1)$-形式を回復することで、双次数$(n-1,n-1)$におけるモンジュ＝アンペール型方程式を定式化する。
• 正性および正規化制約の下で、方程式の解の楕円型性と一意性を証明する。
• 実エーププライコhomology群$H^{n-1,n-1}_{A}(X,\mathbb{R})$の部分集合としてガウディュシュォン錐を定義し、その初歩的な性質を研究する。
• ホッジスター作用素とトレース公式を用いて、計量に関する$ abla\bar{\partial}$-閉形式のラプラシアンと、形式の$(n-1)$-乗根との関係を確立する。
• リーマン・デュアルリティおよびプライミティブ分解を用いて、$d$および$ abla\bar{\partial}$-閉である形式が追加条件のもとでケーラー性を示すことを示す。
• ホッジスター作用素と曲率項のトレースを用いて、作用素の線形化の主要部の不変表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウディュシュォン錐内にある各エーププライコhomology類に対して、一意に関連する標準的ガウディュシュォン計量を定義できるか？
• RQ2 実エーププライコhomology群$H^{n-1,n-1}_{A}(X,\mathbb{R})$内におけるガウディュシュォン錐の幾何学的およびコhomologicalな性質は何か？
• RQ3 $(n-1)$-乗根構成が、コンパクト複素多様体上での$(1,1)$-形式と$(n-1,n-1)$-形式の間の双対性をどのように確立するか？
• RQ4 本稿で確立されたもの以上の、ガウディュシュォン錐の変形性質は何か？
• RQ5 双次数$(n-1,n-1)$における提案されたモンジュ＝アンペール方程式は、大域的に解けるか？また、そのカービー＝ヤウモジュライ空間に与える影響は何か？

主な発見

• 双次数$(n-1,n-1)$におけるモンジュ＝アンペール型方程式が、正性および正規化制約の下で楕円型であり、一意解を有することを証明した。
• 各エーププライcohomology類に対して、ガウディュシュォン錐内に一意に関連する標準的ガウディュシュォン計量が存在し、これにより新たな幾何的不変量が得られた。
• ガウディュシュォン錐は実エーププライcohomology群$H^{n-1,n-1}_{A}(X,\mathbb{R})$の部分集合として定義され、その初歩的な位相的および幾何的性質が確立された。
• 作用素$C(\varphi)^{-1}d_{\varphi}C$の線形化の主要部が、形式$\frac{(n-2)!}{n-1}\Delta_{\tilde{\lambda}}$として表される二階の楕円型作用素であることが示された。ここで$\tilde{\lambda}$は計量と形式$\rho = \star_{\omega}\Lambda$を用いて定義される。
• ホッジスター作用素と曲率項のトレースを用いて、$\mathrm{tr}_{\gamma}(\star_{\gamma}\Gamma) = \frac{1}{\gamma^n/\omega^n}\langle \gamma, \star_{\omega}\Gamma \rangle_{\omega}$という関係式が導出され、$(n-1)$-乗根構成とホッジスター構造の関連が明示された。
• 恒等式$\langle \gamma, i\partial\bar{\partial}h \rangle_{\omega} = (n-1)! \, \Delta_{\star_{\omega}\Lambda} h$が確立され、$(n-1)$-乗根と双対形式に関するラプラシアンとの関連が示された。