[論文レビュー] AF-algebras and the tail-equivalence relation on Bratteli diagrams

R. Exel, Jean Renault|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ブラッティリー図の無限路におけるテイル同値関係と、同じ図によって定義されるAF代数との間の標準的同型を確立する。群体C*-代数の技法と経路空間上の条件付き期待値を用いて、テイル同値関係が近似的に適切な同値関係を生成することを示し、その関連するC*-代数が、自然な*-準同型を通じてAF代数に同型であることを示す。これにより、ブラッティリー図上の力学系とAF代数構造との間にリンクが確立される。

ABSTRACT

Given a Bratteli diagram D we consider the compact topological space formed by all infinite paths on D. Two such path are said to be tail-equivalent when they "have the same tail", i.e. when they eventually coincide. This equivalence relation is approximately proper and hence one may consider the C*-algebra associated to it according to a procedure recently introduced by the first named author and A. Lopes. The main result of this work is the proof that this algebra is isomorphic to the AF-algebra associated to the given Bratteli diagram.

研究の動機と目的

• ブラッティリー図の無限路におけるテイル同値関係と、それによって定義されるAF代数との構造的関係を確立すること。
• 近似的に適切なテイル同値関係から生じるC*-代数が、ブラッティリー図のAF代数に同型であることを示すこと。
• テイル同値関係に関連する群体C*-代数の明示的実現を提供し、標準的なAF代数構成と関連付けること。

提案手法

• EₙをVₙからVₙ₊₁への辺の集合とする。ブラッティリー図Dにおける無限路の空間Ωを、∏ₙ∈ℕ Eₙにおける積位相を用いて定義する。
• 2つの路が最終的に一致する場合に同値とされるテイル同値関係∼をΩに導入し、有限な初期部分路に対応する同値関係∼ₙを定義する。
• 固定されたテイルを持つファイバー上の平均化を用いて、関数を∼ₙ-類上で定数となるように写像する条件付き期待値Eₙ: C(Ω) → C(Ω; Rₙ)を構成する。
• Gをα∼βを満たす対(α,β)のなす群体とする。同値関係Rに対する群体C*-代数C*(G)を実現し、C(Ω)をC*(G)の部分代数として特定する。
• Toeplitz代数T(R,E)における射影êₙを定義し、それらのC*(G)における像êₙ̂を示し、êₙ êₙ₊₁ = êₙ₊₁およびêₙ f êₙ = Eₙ(f) êₙを満たすことを示す。
• T(R,E)から群体C*-代数C*(G)への自然な*-準同型φ: T(R,E) → C*(G)が、冗長性イデアルによる商を経由して、同型ψ: C*(R,E) → C*(G)を誘導することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラッティリー図におけるテイル同値関係に関連するC*-代数は、同じ図によって定義されるAF代数に同型であるか？
• RQ2 テイル同値関係の構造は、AF代数の標準的帰納的極限構成とどのように関係しているか？
• RQ3 テイル同値関係の群体C*-代数は明示的に実現可能であり、標準的AF代数と比較可能か？
• RQ4 条件付き期待値および射影は、2つのC*-代数的構造を結びつける上で果たす役割は何か？
• RQ5 Toeplitz代数における冗長性イデアルは、群体C*-代数への準同型において消えるか？

主な発見

• ブラッティリー図の路空間Ωにおけるテイル同値関係に関連するC*-代数は、同じ図によって定義されるAF代数に同型である。
• 同値関係のToeplitz代数T(R,E)から群体C*-代数C*(G)への自然な*-準同型φ: T(R,E) → C*(G)は、冗長性イデアルによる商を経由し、同型ψ: C*(R,E) → C*(G)を誘導する。
• T(R,E)における射影êₙはC*(G)における射影êₙ̂に写像され、êₙ êₙ₊₁ = êₙ₊₁を満たす。これはAF代数の帰納的極限構造を反映している。
• 条件付き期待値Eₙ: C(Ω) → C(Ω; Rₙ)は、固定されたテイルを持つファイバー上の平均化として実現され、その像は商空間Ω/Rₙ上の連続関数に対応する。
• 写像j: C*(G) → C₀(G)は単射であり、n番目の射影の像に属するkに対し、j(k)の台はRₙ内に含まれる。これにより、同値関係構造と整合性が保証される。
• ψが同型であることは、φの核に冗長性イデアルが含まれており、像が群体C*-代数全体を生成することを確認することで示された。