[論文レビュー] Affine braids, Markov traces and the category O

Rosa Orellana, Arun Ram|ArXiv.org|Jan 23, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、アフィンブレード群、量子群のカテゴリOにおける表現、およびリンク不変量を、$F_\lambda$ と呼ばれる関手によって統一的な枠組みで結びつける。この関手 $F_\lambda$ は、$U_h\mathfrak{g}$-加群をアフィンブレード群 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$ の表現へ写像する。主な貢献は、アフィンヘッケ代数の分解数が、ワイル群のカジダン＝ルシュツィグ多項式によって与えられることを示したことであり、すべてのこのような多項式が一般化された分解数として現れることを示し、すべてのリー型にわたるマーコフトレースおよびBGG分解の一般化を達成した。

ABSTRACT

This paper provides a unified approach to results on representations of affine Hecke algebras, cyclotomic Hecke algebras, affine BMW algebras, cyclotomic BMW algebras, Markov traces, Jacobi-Trudi type identities, dual pairs (Zelevinsky), and link invariants (Turaev). The key observation in the genesis of this paper was that the technical tools used to obtain the results in Orellana and Suzuki, two a priori unrelated papers, are really the same. Here we develop this method and explain how to apply it to obtain results similar to those in Orellana and Suzuki in more general settings. Some specific new results which are obtained are the following: (a) a generalization of the results on Markov traces obtained by Orellana to centralizer algebras coming from quantum groups of all Lie types, (b) a generalization of the results of Suzuki to show that Kazhdan-Lusztig polynomials of all finite Weyl groups occur as decomposition numbers in the representation theory of affine braid groups of type A, (c) a generalization of the functors used by Zelevinsky to representations of affine braid groups of type A, (d) a definition of the affine BMW-algebra (Birman-Murakami-Wenzl) and show that it has a representation theory analogous to that of affine Hecke algebras. In particular there are ``standard modules'' for these algebras which have composition series where multiplicites of the factors are given by Kazhdan-Lusztig polynomials for Weyl groups of types A,B,and C, (e) we generalize the results of Leduc and Ram on constructing representations of centralizer algebras to affine centralizer algebras.

研究の動機と目的

• アフィンヘッケ代数、マーコフトレース、リンク不変量に関する散在する結果を、共通の表現論的枠組みで統一すること。
• カテゴリOにおける量子群表現を用いて、アフィンブレード群上のマーコフトレースを一般化すること。
• アフィンヘッケ代数の分解数が、リー型に依存しないワイル群のカジダン＝ルシュツィグ多項式に対応することを示すこと。
• 同じ関手的機構を用いて、アフィンBMW代数の標準的および既約加群を構成すること。
• 関手 $F_\lambda$ を用いて、ジャコビ＝トゥルディ恒等式およびBGG分解をアフィンブレード群加群へ一般化すること。

提案手法

• カテゴリOに属する各 $U_h\mathfrak{g}$-加群 $M$ に対して、$M \otimes V^{\otimes k}$ の最高重量ベクトルを介して、アフィンブレード群 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$ の有限次元表現を与える関手 $F_\lambda(M)$ を定義する。
• アフィンブレード群が $M \otimes V^{\otimes k}$ に作用することを用いて、$M$ がヴェルマ加群または既約加群である場合に、$\widetilde{\mathcal{B}}_k$ の標準的および既約加群を定義する。
• 関手 $F_\lambda$ を通じてヴェルマ加群のジャンツェンフィルトレーションを引き戻し、標準的 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$-加群における組成因子をカジダン＝ルシュツィグ多項式と関連付けるジャンツェンフィルトレーションを構成する。
• $U_h\mathfrak{g}$-加群上のトレースを用いて、アフィンブレード群へのマーコフトレースの構成を一般化し、ヘッケ代数、テンパラー＝ライブ代数、および巡回的代数の既知のトレースを特別な場合として回復する。
• 既約 $U_h\mathfrak{g}$-加群のBGG分解を適用することで、対応する $\widetilde{\mathcal{B}}_k$-加群のBGG分解を導出し、それらの特徴関数に対するジャコビ＝トゥルディ恒等式を導出する。
• 多重セグメントの正規形とワイル群作用を用いて標準的加群をパラメトライズし、カジダン＝ルシュツィグ多項式を用いて分解数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンブレード群表現、量子群のカテゴリO、およびリンク不変量を結びつける統一的枠組みをどのように構築できるか？
• RQ2 アフィンヘッケ代数の分解数とワイル群のカジダン＝ルシュツィグ多項式の正確な対応関係は何か？
• RQ3 $F_\lambda$ 関手を用いて、アフィンヘッケ代数と同様の性質を持つアフィンBMW代数の標準的および既約加群を構成できるか？
• RQ4 BGG分解およびジャコビ＝トゥルディ恒等式は、量子群からアフィンブレード群加群へどのように一般化されるか？
• RQ5 アフィンヘッケ代数表現の分解数として現れる可能性のある多項式はどれか？

主な発見

• タイプAのアフィンヘッケ代数の標準的加群の分解数は、対称群 $S_k$ のカジダン＝ルシュツィグ多項式によって与えられ、定理6.31で示された。
• すべての $1 + \mathbf{v} \mathbb{Z}_{\geq 0}[\mathbf{v}]$ に属する多項式が、あるペアのアフィンヘッケ代数加群の分解数として現れることを、ポロの結果および命題6.32によって確立した。
• $F_\lambda$ 関手は、適切な条件下でヴェルマ加群を標準的加群、既約 $U_h\mathfrak{g}$-加群を既約 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$-加群に写像する。
• 標準的 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$-加群におけるジャンツェンフィルトレーションは、ヴェルマ加群におけるジャンツェンフィルトレーションに対応し、組成因子はカジダン＝ルシュツィグ多項式によって支配される。
• 既約 $U_h\mathfrak{g}$-加群のBGG分解は、対応する $\widetilde{\mathcal{B}}_k$-加群に対してもBGG分解を誘導し、それらの特徴関数に対するジャコビ＝トゥルディ恒等式を導出する。
• すべてのリー型 $\mathfrak{g}$ に対して、アフィンブレード群 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$ 上のマーコフトレースを構成し、既知のトレース（例：ジョーンズ、レシェチキン＝トゥレイブ）を特別な場合として回復した。