[論文レビュー] Affine buildings for dihedral groups

Arkady Berenstein, Michael Kapovich|ArXiv.org|Sep 1, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、任意の有限二面体群 $D_m$ に対して、組み合わせ的凸性定理を構築し、有限 CAT(0) 複体内の凸コロソリーに沿って順次アパートメントを接続する帰納的「ポンツィ・スキーム」構成を用いることで、ランク2の厚い非離散アフィンビルディングを構成する。主な結果は、非離散可算な $W_{\text{af}}$ を持つすべての特別なコクセター複体 $(A, W_{\text{af}})$ に対してこのようなビルディングの存在を保証することであり、ランク2アフィンビルディングの分類における長年の空白を解消する。

ABSTRACT

We construct rank 2 thick nondiscrete affine buildings associated with an arbitrary finite dihedral group.

研究の動機と目的

• 非可換有限コクセター群、特に $m \geq 5$ で $m \neq 6$ の非格子的二面体群 $D_m$ に対して、ランク2の厚いアフィンビルディングを構成するという未解決問題を解決すること。
• ティツの球面ビルディングの自由構成をアフィンの場合に拡張するために、反復的拡大によって任意の2点が共通のアパートメントに含まれるような方法を開発すること。
• 非離散可算な $W_{\text{af}} = \Lambda \rtimes D_m$ を持つ特別なコクセター複体 $(A, W_{\text{af}})$ をモデルとする厚いユークリッドビルディングの存在を確立すること。
• 圏論的結合を用いて、非可算または非特別な $W_{\text{af}}$ 群への一般化の基盤を提供すること。

提案手法

• 有限 CAT(0) 複体 $(X_n)$ の列を、コクセター複体 $(A, W_{\text{af}})$ をモデルとして、凸部分複体に沿ってアパートメントを接続する帰納的拡大によって構成する。
• 「コロソリー」を、$X_n$ 内のタイル（角度が $\pi/m$ と $\pi - \pi/m$ の平行四辺形）の有限和として定義し、接続のための凸部分複体として機能させる。
• 「拡張コロソリー」を、無限大に及ぶコロソリーの類似物として導入し、無限遠における超反対的チェンバーのペアを扱うために用いる。
• 組み合わせ的凸性定理（定理 1.2）を証明し、任意の2点または超反対的チェンバーのペアが凸拡張コロソリーに含まれることを示し、これによりモデルアパートメント $A$ への弱等長埋め込みが可能になる。
• 弱等長写像と $D$-等長写像を用いて、凸コロソリーに沿ってアパートメントを接続しても CAT(0) 性およびモデル構造が保たれることを保証する。
• 直接極限 $X = \bigcup X_n$ をとることで、すべてのビルディング公理を満たす完全なランク2の厚いユークリッドビルディングが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換有限二面体群 $D_m$（特に $m=5,7,8,9$ の非格子的群）に対して、非離散な移動群 $\Lambda$ を持つとき、ランク2の厚いアフィンビルディングを構成できるか？
• RQ2 $(A, W_{\text{af}})$ をモデルとする有限 CAT(0) 複体に凸コロソリーが存在する場合、任意の2点または超反対的チェンバーが共通の凸部分複体に含まれ、そこへ完全なアパートメントを接続できるか？
• RQ3 凸コロソリーに沿った順次拡大に基づく帰納的「ポンツィ・スキーム」構成によって、すべての公理を満たす完全なビルディングが得られるか？
• RQ4 圏論的結合を用いて、非可算または非特別な $W_{\text{af}}$ 群への一般化は可能か？

主な発見

• 本稿は、非離散可算な $W_{\text{af}} = \Lambda \rtimes D_m$ を持つ任意の特別なコクセター複体 $(A, W_{\text{af}})$ をモデルとする、ランク2の厚いユークリッドビルディング $X$ の存在を確立し、定理 1.1 を証明する。
• 主要な技術的結果として定理 1.2 が得られる：$(A, W_{\text{af}})$ をモデルとする有限 CAT(0) 複体において、任意の2点または超反対的チェンバーのペアは、モデルアパートメント $A$ への弱等長埋め込みを許容する凸拡張コロソリーに含まれる。
• 構成法により、任意の2点は有限回の拡大の後、必ず共通のアパートメントに含まれるようになり、ビルディング公理 A1′ と A2′ が満たされる。
• 得られるビルディング $X$ は厚いものである。これは、$X$ のすべての壁が少なくとも3つの半アパートメントの共通部分であるためであり、退化コロソリーに沿って新しいアパートメントが接続されることで確認される。
• 超極限構成により、$X' = X_\omega$ として、$\overline{W_{\text{af}}} = \mathbb{R}^2 \rtimes D_m$ をモデルとするビルディングが得られ、これは結果が全等長群へ拡張されることを示している。
• 本稿は、このような複体の圏が結合を許容することを示唆しており、これにより非常に推移的な自己同型群を持つビルディングの構成が可能になり、$W_{\text{af}}$ が非可算である場合への一般化が可能になる。