[論文レビュー] Affine cones over Fano threefolds and additive group actions

Takashi Kishimoto, Yuri Prokhorov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、Fano三様体のアフィンコーンに有効な加法群作用が存在することと、その三様体自体にシリンダー（アフィン直線との積に同型な開部分集合）が存在することの間の幾何的基準を確立する。指数1、ピカール数1、種数9または10のFano三様体について、直線のFanoスキームが特異である場合、アフィンコーンは非自明な${\mathbb{G}}_a$-作用をもつことが示され、これまでに知られていた例を超える新たな族が得られる。

ABSTRACT

We address the following question: When an affine cone over a smooth Fano threefold admits an effective action of the additive group? In this paper we deal with Fano threefolds of index 1 and Picard number 1. Our approach is based on a geometric criterion from our previous paper, which relates the existence of an additive group action on the cone over a smooth projective variety X with the existence of an open polar cylinder in X. Non-trivial families of Fano threefolds carrying a cylinder were found in loc. cit. Here we provide new such examples.

研究の動機と目的

• 滑らかなFano三様体のアフィンコーンが加法群${\mathbb{G}}_a$の有効作用をもつ条件を特定すること。
• これまでに特定された例を超えて、Fano三様体の${\mathbb{G}}_a$-作用をもつアフィンコーンをもつ既知の族を拡張すること。
• Fano三様体にシリンダーが存在することと、そのアフィンコーンに${\mathbb{G}}_a$-作用が存在することとの間の幾何的基準を確立すること。
• 直線のFanoスキーム$\tau(X)$がこのような作用の存在に与える役割を調査すること。

提案手法

• 著者たちは、[KPZ]に提示された幾何的基準を適用し、アフィンコーンに${\mathbb{G}}_a$-作用が存在することと、Fano三様体に極的${\mathbb{A}}^1$-シリンダーが存在することの関係を関連づける。
• 三様体$X$上の直線のFanoスキーム$\tau(X)$を分析し、それが滑らかであるか否かに注目する。
• ピカール数1、指数1、種数9または10のFano三様体について、$\tau(X)$が特異であれば$X$はシリンダーを含むことを示す。
• シリンダーの構成には、立方曲面における吹き上げと特異点の解消を用いる幾何的技法が関与する。
• 付随公式と微分の理論を用いて、特異な立方曲面上に特定の曲線が存在しないことを除外する。
• 最小解体における特異立方曲面の交差理論を分析することで、種数3、次数7の曲線が存在すると仮定した場合の矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fano三様体のアフィンコーンが有効な${\mathbb{G}}_a$-作用をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 Fano三様体の直線のFanoスキーム$\tau(X)$の特異点集合は、$X$内にシリンダーが存在することとどのように関係するか？
• RQ3 これまでに知られていた例を超えて、Fano三様体のアフィンコーンに${\mathbb{G}}_a$-作用が存在する新たな族を構成できるか？
• RQ4 $A_3$-特異点、円錐特異点、または$E_6$-特異点をもつ立方曲面上に、種数3、次数7の曲線が存在するのを妨げる要因は何か？

主な発見

• 種数9または10で、$\operatorname{Pic}(X) \simeq \mathbb{Z} \cdot (-K_X)$を満たすFano三様体$X$のアフィンコーンは、$\tau(X)$が滑らかでない場合、有効な${\mathbb{G}}_a$-作用をもつ。
• このようなFano三様体の集合は、すべてのこのような三様体のモジュライ空間においてcodimension 1の部分多様体をなす。
• ピカール数1の仮定の下では、$X$にシリンダーが存在することは、$X$のアフィンコーンに${\mathbb{G}}_a$-作用が存在することと同値である。
• $A_3$-特異点をもつ立方曲面上では、滑らかな種数3、次数7の曲線が存在し得、それにより対応するFano三様体にシリンダーが導かれる。
• 孤立した円錐特異点をもつ立方曲面や$E_6$-特異点をもつ立方曲面上には、そのような曲線は存在せず、これらの場合にシリンダーの構成が妨げられる。
• 微分の計算における矛盾は、$E_6$-特異点を通る直線と整合的であるような種数3、次数7の曲線が同時に存在できないことを示している。