[論文レビュー] Affine connections and singularities of tangent surfaces to space curves

Goo Ishikawa, Tatsuya Yamashita|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、次元 ≥3 の多様体上における任意の torsion-free アフィン接続のもとで、空間曲線の接面における一般的特異点の完全な分類を確立する。アフィン接続による測地線の一般化として「直線」を定義し、特異点の局所微分同相型として、曲線の共変微分の零化の順序と線形独立性に応じて、唯一のタイプは、クロス・エッジ、フォールドド・アンブル、サワトゥイルの三つであることが証明される。3次元とそれ以上の次元で異なる挙動を示す。

ABSTRACT

We give the complete solution to the local diffeomorphism classification problem of generic singularities which appear in tangent surfaces, in as wider situations as possible. We interpret tangent geodesics as tangent lines whenever a (semi-)Riemannian metric, or, more generally, an affine connection is given in an ambient space of arbitrary dimension. Then, given an immersed curve, or, more generally a directed curve or a frontal curve which has well-defined tangent directions along the curve, we define the tangent surface as the ruled surface by tangent geodesics to the curve. We apply the characterization of frontal singularities found by Kokubu, Rossman, Saji, Umehara, Yamada, and Fujimori, Saji, Umehara, Yamada, and found by the first author related to the procedure of openings of singularities.

研究の動機と目的

• 任意の torsion-free アフィン接続を備えた次元 ≥3 の多様体上での、ユークリッド3次元空間における接面の特異点の古典的分類を拡張すること。
• 従来の研究におけるギャップを解消し、これまで体系的に分析されていなかった非射影的平坦な場合を扱うこと。
• $\nabla$-接面を、曲線または指向曲線に沿った $\nabla$-測地線によって生成される直母面として定義し、特徴づけること。
• 曲線および指向曲線に対して、ホイットニー $C^\infty$ 位相を用いて一般性条件を確立すること。
• 3次元およびそれ以上の次元の環境空間において、特異点の完全な局所微分同相型分類を確立すること。

提案手法

• torsion-free アフィン接続 $\nabla$ を備えた多様体上に存在する曲線または指向曲線に沿って、$\nabla$-測地線によって形成される直母面として $\nabla$-接面を定義する。
• 各点 $t_0$ における特異点型を、共変微分 $\nabla^k\gamma(t_0)$（$k=1,2,3,4,5$）を用いて分類する。
• ジェット横断性と特異点論を用いて局所微分同相型分類を適用し、表面写像のジェット・ジェルムを、クロス・エッジ、フォールドド・アンブル、サワトゥイルなどの標準モデルと比較する。
• 次元 ≥4 における「埋め込みクロス・エッジ」の概念を導入し、古典的3次元クロス・エッジを高次元に一般化する。
• 微分同相型ジェルムを用いて、$\nabla$-接面写像ジェルムを、例えば $(t,s) \mapsto (t+s, t^2+2st, t^3+3st^2, 0, \dots, 0)$ のような標準正規形と比較する（クロス・エッジの場合）。
• ホイットニー $C^\infty$ 位相を用いて一般性を確立し、やや強い横断性条件のもとで、提示された特異点型が一般に現れることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の torsion-free アフィン接続を備えた多様体上に存在する一般的曲線に対する $\nabla$-接面に現れる一般的特異点型は何か？
• RQ2 特異点型は、環境空間の次元に依存するか。特に3次元とそれ以上の次元のケースを区別して説明できるか？
• RQ3 共変微分 $\nabla^k\gamma(t_0)$ にどのような条件が満たされると、$\nabla$-接面がクロス・エッジ、フォールドド・アンブル、またはサワトゥイルと局所微分同相になるか？
• RQ4 ユークリッド3次元空間における接面特異点の古典的分類を、非射影的平坦な多様体へ一般化できるか？
• RQ5 捩れのない曲線は特異点形成に果たす役割は何か？このような曲線は、射影的平坦空間におけるものとは微分同相でない特異点を生じうるか？

主な発見

• 次元 $\dim(M) = 3$ の場合、一般的曲線に対する $\nabla$-接面の特異点として現れるのは、クロス・エッジとフォールドド・アンブルの二つだけである。
• 次元 $\dim(M) \geq 4$ の場合、一般的曲線に対する $\nabla$-接面の特異点として現れるのは、埋め込みクロス・エッジの唯一のタイプである。
• 次元 $\dim(M) = 3$ の一般的指向曲線の場合、特異点にはクロス・エッジ、フォールドド・アンブル、サワトゥイルが含まれる。
• 次元 $\dim(M) \geq 4$ の一般的指向曲線の場合、特異点には埋め込みクロス・エッジとオープン・サワトゥイルが含まれる。
• $\nabla$-接面が $t_0$ でクロス・エッジと局所微分同相になるのは、$\nabla\gamma(t_0), \nabla^2\gamma(t_0), \nabla^3\gamma(t_0)$ が線形独立であるとき。
• $\nabla$-接面が $t_0$ でフォールドド・アンブルと局所微分同相になるのは、$\nabla\gamma(t_0), \nabla^2\gamma(t_0), \nabla^3\gamma(t_0)$ が線形従属だが、$\nabla\gamma(t_0), \nabla^2\gamma(t_0), \nabla^4\gamma(t_0)$ が線形独立であるとき。
• $\nabla$-接面が $t_0$ でサワトゥイルと局所微分同相になるのは、$\nabla\gamma(t_0) = 0$ かつ $\nabla^2\gamma(t_0), \nabla^3\gamma(t_0), \nabla^4\gamma(t_0)$ が線形独立であるとき。
• $\nabla$-接面が $t_0$ でオープン・サワトゥイルと局所微分同相になるのは、$\nabla\gamma(t_0) = 0$ かつ $\nabla^2\gamma(t_0), \nabla^3\gamma(t_0), \nabla^4\gamma(t_0), \nabla^5\gamma(t_0)$ が線形独立であるとき。
• 射影的平坦空間におけるいかなる接面とも微分同相でない $(2,5)$-クロス・エッジは、$\mathbf{R}^3$ 内の torsion-free アフィン接続のもとで $\nabla$-接面として現れることがある。