[論文レビュー] Affine Deligne-Lusztig varieties and the action of J

Miaofen Chen, Eva Viehmann|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、群 $J_b(F)$ の作用を用いて、アフィン・デリーニュ＝ルスティッグ多様体の新しい群論的層化を導入する。相対的位置関数 $f_g: J_b(F) \to X_*(T)_{\text{dom}}$ を通じて定義される。主な貢献は、ブルハット＝ティッツ層化、半モジュール層化、$a$-不変量層化といった既知の層化を、一般枠組みの特殊ケースとして統一的に解釈することであり、$f_g$ が特定の $J_b(F)$-軌道上にあるときかつそのときに限り $a$-不変量が 1 に等しいことを示す。

ABSTRACT

We propose a new stratification of the reduced subschemes of Rapoport-Zink spaces and of affine Deligne-Lusztig varieties that highlights the relation between the geometry of these spaces and the action of the associated automorphism group. We show that this provides a joint group-theoretic interpretation of well-known stratifications which only exist for special cases such as the Bruhat-Tits stratification of Vollaard and Wedhorn, the semi-module stratification of de Jong and Oort, and the locus where the a-invariant is equal to 1.

研究の動機と目的

• アフィン・デリーニュ＝ルスティッグ多様体の散在する層化（ブルハット＝ティッツ層化、半モジュール層化、$a$-不変量層化など）を、一つの群論的枠組みに統合すること。
• 相対的位置に基づく新しい不変量を定義することで、$J_b(F)$ の幾何的役割を明確化すること。
• これまで一般化された形で述べられていなかった、アフィン・デリーニュ＝ルスティッグ多様体の幾何と $J_b(F)$ のブルハット＝ティッツ複体との間の関係を、概念的説明を与えること。
• $a$-不変量が 1 であることは、標準関数 $f_g$ の $J_b(F)$-軌道上にあることとちょうど一致することを示し、この不変量の群論的特徴付けを与えること。

提案手法

• 各 $g \in G(L)/K$ に対して、カルタン分解を用いて関数 $f_g: J_b(F) \to X_*(T)_{\text{dom}}$ を定義し、各 $j \in J_b(F)$ に相対的位置 $\text{inv}(j,g)$ を割り当てる。
• カルタン分解 $G(L) = \coprod_{\xi \in X_*(T)_{\text{dom}}} K\xi(\epsilon)K$ を用いて、$f_g(j)$ の値を $j^{-1}g \in K\epsilon^{f_g(j)}K$ に対応するコアキシオムとして計算する。
• $X_\mu(b)$ を $f_g$ の像によってインデックス付けられた局所閉部分スキームに層化することを構成し、これが既知のケースを一般化することを示す。
• $a$-不変量が 1 であることは、固定関数 $F$ の $J_b(F)$-軌道上にあることとちょうど一致することを、ディエュドネ・モジュールの多重半モジュール構造を用いて証明する。
• $J_b(F)$ の作用を用いて、$M \subset M_0$ であるラティス $M$ を正規化し、$M$ が $v_\epsilon(\det j) > 0$ を満たす任意の $jM_0$ に含まれない場合に帰着させることで、$a$-不変量の解析を簡略化する。
• 等長体の構造と $\tau_0 = \sigma$、$\tau_1 = (b\sigma)^a \epsilon^{a'}$ の作用を活用し、これらの作用の不変性によって $J_b(F)$-安定ラティスを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン・デリーニュ＝ルスティッグ多様体の幾何は、どのようにして群 $J_b(F)$ の作用と系統立てて関係づけられるか？
• RQ2 ブルハット＝ティッツ層化、半モジュール層化、$a$-不変量層化は、単一の統一的群論的層化の特殊ケースとして理解できるか？
• RQ3 $f_g$ が満たす群論的条件は何か？その条件が、ラティス $M = gM_0$ の $a$-不変量が 1 に等しいことを特徴付ける。
• RQ4 新しい層化におけるストラトムの閉包は常にストラトムの和集合であるか？そうでない場合、閉包関係の性質は何か？

主な発見

• $X_\mu(b)$ の新しい層化は、関数 $f_g: J_b(F) \to X_*(T)_{\text{dom}}$ を通じて与えられ、局所閉であり、ブルハット＝ティッツ層化や半モジュール層化といった既知の層化を一般化する。
• $a$-不変量が 1 であることは、$f_g$ が標準関数 $F$ の $J_b(F)$-軌道上にあることとちょうど一致し、この不変量の群論的特徴付けを与える。
• $M \subset M_0$ で、任意の $jM_0$（ただし $v_\epsilon(\det j) > 0$）に含まれないようなラティス $M$ に対して、$M$ の多重半モジュールが $A_{\text{gen}}$ に等しいことは、$a(M) = 1$ であることと同値であり、この条件は $f_g$ が指定された $J_b(F)$-軌道上にあることと一致する。
• 層化は閉包に関して一般には閉じていないことが、2.1節の反例によって示されており、閉包関係が非自明で、単なるストラトムの和集合ではないことを示している。
• $J_b(F)$ の作用により、$M = gM_0 \subset M_0$ かつ $M$ が $v_\epsilon(\det j) > 0$ を満たす任意の $jM_0$ に含まれないような $g$ を正規化できる。この正規化により、$a$-不変量の解析が簡略化される。
• 等長体 $(L^h, b\sigma)$ 内のラティス $M$ が $J_b(F)$-安定（すなわち、ある $j \in J_b(F)$ に対して $M = jM_0$ となる）ことと、$\tau_0$ および $\tau_1$ による不変性とは同値であり、これらは $b\sigma$ と $\epsilon$ の作用を生成する。