[論文レビュー] Affine flag varieties and quantum symmetric pairs

Zhaobing Fan, Chun‐Ju Lai+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、アフィン型Cの8つの量子対称対の幾何的実現を、アフィンフラッグ多様体に関連するシュール代数とルスティグ代数を用いて構成する。これらの代数に対して単項基底および正規基底を確立し、正規基底の積、余積、および双線形形式に関する正値性を証明することで、安定化手続きを用いた、idempotented量子アフィンglとその正規基底の新しい幾何的構成が得られる。

ABSTRACT

The quantum groups of finite and affine type $A$ admit geometric realizations in terms of partial flag varieties of finite and affine type $A$. Recently, the quantum group associated to partial flag varieties of finite type $B/C$ is shown to be a coideal subalgebra of the quantum group of finite type $A$. In this paper we study the structures of Schur algebras and Lusztig algebras associated to (four variants of) partial flag varieties of affine type $C$. We show that the quantum groups arising from Lusztig algebras and Schur algebras via stabilization procedures are (idempotented) coideal subalgebras of quantum groups of affine $\mathfrak{sl}$ and $\mathfrak{gl}$ types, respectively. In this way, we provide geometric realizations of eight quantum symmetric pairs of affine types. We construct monomial and canonical bases of all these quantum (Schur, Lusztig, and coideal) algebras. For the idempotented coideal algebras of affine $\mathfrak{sl}$ type, we establish the positivity properties of the canonical basis with respect to multiplication, comultiplication and a bilinear pairing. In particular, we obtain a new and geometric construction of the idempotented quantum affine $\mathfrak{gl}$ and its canonical basis.

研究の動機と目的

• シュール代数およびルスティグ代数を用いて、アフィン型Cの量子対称対の幾何的実現を開発すること。
• 型Cのアフィンフラッグ多様体から生じるコイデアル部分代数の単項基底および正規基底を構成すること。
• idempotentedコイデアル代数のアフィンslに対して、積、余積、および双線形形式における正規基底の正値性を確立すること。
• 安定化手続きを用いて、idempotented量子アフィンglとその正規基底の新しい幾何的構成を提供すること。
• 有限型の構成をアフィン型Cに一般化し、既知の量子対称対および正規基底に関する結果を拡張すること。

提案手法

• 型Cのアフィンフラッグ多様体の格子表現を用いてシュール代数およびルスティグ代数を定義する。
• シュール代数およびルスティグ代数に安定化手続きを適用し、量子アフィンslおよびglのidempotentedコイデアル部分代数を構成する。
• 畳み込みおよび転送写像を用いてシュール代数およびルスティグ代数に余積写像を定義し、幾何的構造と整合性を保つ。
• 特異的フラッグ多様体の軌道上の畳み込み代数を用いて単項基底を構成し、正規基底とその整合性を検証する。
• 積および余積の公式における主要項の解析を通じて、正規基底の正値性を証明する。
• 写像ψを介して、有限型とアフィン型のシュール代数の間に代数同型を確立し、正規基底を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型Cのアフィンフラッグ多様体に関連するシュール代数およびルスティグ代数は、どのようにしてアフィン型の量子対称対を実現できるか。
• RQ2 idempotentedコイデアル代数の量子アフィンslの正規基底の構造は何か。また、積および余積に関して正値性を満たすか。
• RQ3 安定化手続きは、シュール代数およびルスティグ代数をどのようにidempotented量子群に変換するか。その結果得られる正規基底は何か。
• RQ4 転送写像および余積は、有限型とアフィン型の間で代数的および幾何的構造をどのように保存するか。
• RQ5 有限型B/Cにおけるシュール代数の正規基底は、同型ψの下でアフィン型Cにおけるそれらとどのように関係するか。

主な発見

• 本論文は、型Cのアフィンフラッグ多様体上のシュール代数およびルスティグ代数の幾何的実現を用いて、8つの異なるアフィン型Cの量子対称対を構成する。
• idempotentedコイデアル代数の量子アフィンslの正規基底が、積、余積、および双線形形式に関して正値であることが示された。
• シュール代数の安定化を用いて、idempotented量子アフィンglとその正規基底の新しい幾何的構成が達成された。
• 型Cのアフィンフラッグ多様体から生じるすべてのシュール代数、ルスティグ代数、およびコイデアル代数に対して、単項基底および正規基底が明示的に構成された。
• 有限型とアフィン型のシュール代数の間の同型ψは、正規基底を保存し、幾何的および代数的構造の整合性を保証する。
• 安定化プロセスにより、代数9Kc_nが得られ、これはidempotented量子アフィンglと同型であり、その正規基底が安定的かつ正値的であることが示された。