[論文レビュー] Affine Hecke algebras and the conjectures of Hiraga, Ichino and Ikeda

Eric Opdam|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 47被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、分岐拡大に関して非分岐な拡大を含む連結な再帰的 $p$-進群の単調な還元をもつ表現のプランシュレル密度に関する Hiraga, Ichino, Ikeda の予想を証明する。ユニポテンツなアフィンヘッケ代数間のスペクトル転送写像と Lusztig の分類を用いて、$L$-関数と $\boldsymbol{\epsilon}$-因子を用いた形式的次数の公式を確立し、一般の再帰的群においては有理数定数因子を除いて予想が正当化されることを確認した。

ABSTRACT

Hiraga, Ichino and Ikeda have conjectured an explicit expression for the Plancherel density of the group of points of a reductive group defined over a local field $F$, in terms of local Langlands parameters. In these lectures we shall present a proof of these conjectures for Lusztig's class of representations of unipotent reduction if $F$ is $p$-adic and $G$ is of adjoint type and splits over an unramified extension of $F$. This is based on the author's paper [Spectral transfer morphisms for unipotent affine Hecke algebras, Selecta Math. (N.S.) 22 (2016), no. 4, 2143--2207]. More generally for $G$ connected reductive (still assumed to be split over an unramified extension of $F$), we shall show that the requirement of compatibility with the conjectures of Hiraga, Ichino and Ikeda essentially determines the Langlands parameterisation for tempered representations of unipotent reduction. We shall show that there exist parameterisations for which the conjectures of Hiraga, Ichino and Ikeda hold up to rational constant factors. The main technical tool is that of spectral transfer maps between normalised affine Hecke algebras used in op. cit.

研究の動機と目的

• 連結な再帰的 $p$-進群、特にアドジョイント群に限らない一般の群にまで、Hiraga–Ichino–Ikeda のプランシュレル密度予想の証明を拡張すること。
• 単調な還元をもつ単調な表現のラングランズパラメータ化が、予想と本質的に整合することにより一意に定まることを示すこと。
• このような表現について、$L$-関数と $\boldsymbol{\epsilon}$-因子を用いた予想された形式的次数の公式を確立すること。
• 再帰的群が非分岐拡大を含む場合、すべての単調な還元をもつ単調な表現について、予想が有理数定数因子を除いて成り立つことを示すこと。

提案手法

• Lusztig の分類と Iwahori-Matsumoto 対称性を用いて構成された、正規化されたアフィンヘッケ代数間のスペクトル転送写像（STMs）を用いる。
• ユニポテンツなアフィンヘッケ代数およびその Bernstein 中心の理論を応用し、プランシュレル測度とトレース汎関数を分析する。
• アフィンヘッケ代数上のトレースのスペクトル分解から得られる形式的次数の公式を用いる。
• 離散的系列表現のプランシュレル密度 $d_{\boldsymbol{\mathcal{H}},\delta}$ の計算に、残留コセットと変形技術を用いる。
• 中心的特徴と $\mathcal{S}$-群の分析を通じて、ラングランズパラメータの予想との整合性を確立する。
• 同型写像 $\eta: H \to G$ における STMs の不変性を活用し、問題を単純な半単純かつ非分岐な群のほぼ直接積に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結な再帰的 $p$-進群の単調な還元をもつすべての単調な表現について、Hiraga–Ichino–Ikeda のプランシュレル密度予想は成り立つか？
• RQ2 このような表現のラングランズパラメータ化は、予想された形式的次数の公式との整合性によって一意に定まるか？
• RQ3 一般の再帰的群の場合、予想が有理数定数因子を除いてどの程度まで成り立つか？
• RQ4 ユニポテンツなアフィンヘッケ代数間のスペクトル転送写像は、予想の証明をどのように支援するか？
• RQ5 残留コセットと変形技術は、離散的系列のプランシュレル測度の計算において、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 非分岐拡大を含む連結な再帰的 $p$-進群の単調な還元をもつすべての単調な表現について、Hiraga, Ichino, Ikeda の予想が成り立つ。
• 単調な表現 $\pi_\rho$ の形式的次数は、有理数定数因子を除いて $\textup{fdeg}(\pi_\rho) = \frac{\dim(\rho)}{|\mathcal{S}^\natural_\varphi|} |\gamma(0, \textup{Ad} \circ \varphi, \psi)|$ で与えられる。
• ユニポテンツなアフィンヘッケ代数間のスペクトル転送写像は、同型な群間でのラングランズパラメータを標準的に関連付ける方法を提供し、同型写像下での予想の整合性を保証する。
• アドジョイント型の群では、予想が正確に成り立ち、既存の文献における結果を確認する。
• カスピダルなユニポテンツ表現による STMs の構成により、パラメータ化がプランシュレル測度および中心的特徴と整合することが保証される。
• 主結果である定理 4.5.1 は、$p$-進体上の一般の再帰的群において、単調な還元をもつすべての単調な表現について、予想が有理数定数因子を除いて成り立つことを確立する。