[論文レビュー] Affine Hecke algebras associated to Kac-Moody groups

Howard Garland, I. Grojnowski|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 1995

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、Kac-Moody群のアフィンフラッグ多様体の余接 bundle における等長的 K 理論を用いて、Cherednik の二重アフィンヘッケ代数を幾何学的に構成する。これは、Steinberg 多様体の手法を一般化したものである。主な結果は、二重アフィンヘッケ代数と $T^*\mathcal{B} \times T^*\mathcal{B}$ 内のラグランジュ部分多様体 $\Lambda$ の等長的 K 理論との同型であり、代数およびそのモジュールの幾何的実現を確立する。

ABSTRACT

In this paper we give a geometric construction of Cherednik's double affine Hecke algebra. We construct the algebra as the equivariant $K$-theory of the Lagrangian subvariety of the cotangent variety of the square of the flag variety of $G$, the variety being given by the union of the conormal bundles to the $G$-orbits on $\flag imes\flag$. This is a generalisation of work of Kazhdan and Lusztig to the Kac-Moody case, and is suitable for describing a certain class of modules for this algebra. In a paper in preparation we will do this, in the case $G$ is affine (Cherednik's case).

研究の動機と目的

• 等長的 K 理論を用いて、Cherednik の二重アフィンヘッケ代数の幾何的構成を提供すること。
• 有限型からアフィン Kac-Moody 群への Steinberg 多様体の構成を拡張すること。
• 文献 [Gr] の技術を用いて、無限次元フラッグ多様体 $T^*\mathcal{B}$ 上の連続層を定義すること。
• 二重アフィンヘッケ代数を等長的 K 理論代数として実現し、そのモジュールの研究を可能にすること。
• アフィン Kac-Moody 環境における標準的および既約モジュールの分類の基盤を築くこと。

提案手法

• アフィン Kac-Moody 群 $G$ に対して、フラッグ多様体 $\mathcal{B} = G/B$ 及びその余接 bundle $T^*\mathcal{B}$ を用いる。これは、有限型の場合の一般化である。
• ラグランジュ部分多様体 $\Lambda \subset T^*\mathcal{B} \times T^*\mathcal{B}$ を、$G$-軌道の余接束の和集合として定義する。
• 代数 $\widehat{H}$ を、等長的 K 理論 $K^{T \times \mathbb{C}^*}(\Lambda)$ から、階数写像 $\text{gr}$ を通じて得る。
• 文献 [Gr] の技術を適用して、$T^*\mathcal{B}$ 上の連続層を定義し、混合 Hodge モジュールおよび分解定理の適用を可能にする。
• $P_i$-安定な適切な三重組を用いて、混合 Hodge モジュールのフィルター付きカテゴリを定義し、$C_i'$ 関手を介してヘッケ代数の作用を構成する。
• Bruhat 順序による $K$-理論のフィルターと完全列、および基底変換を用いて、同型 $\widehat{H} \to K^{T \times \mathbb{C}^*}(\Lambda)$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cherednik の二重アフィンヘッケ代数は、Kac-Moody 群のアフィンフラッグ多様体の余接 bundle 内のラグランジュ部分多様体の等長的 K 理論として幾何的に実現可能か？
• RQ2 有限型構造が欠如する無限次元フラッグ多様体 $T^*\mathcal{B}$ 上に連続層をどのように定義できるか？
• RQ3 $P_i$-安定な適切な三重組は、代数的構造 $\widehat{H}$ の構成において果たす役割は何か？
• RQ4 ヘッケ代数 $H$ と群環 $\mathbb{C}[X]$ の作用が、等長的 K 理論の文脈で $\widehat{H}$ をどのように定義するか？
• RQ5 この文脈における Cherednik の「フーリエ変換」の幾何的意味は何か？なぜ非自明なのか？

主な発見

• 二重アフィンヘッケ代数 $\widehat{H}$ は、$T^*\mathcal{B} \times T^*\mathcal{B}$ 内のラグランジュ部分多様体 $\Lambda$ の等長的 $K$-理論 $K^{T \times \mathbb{C}^*}(\Lambda)$ と同型である。
• この構成は、無限次元 Kac-Moody 群への Steinberg 多様体の手法の一般化であり、アフィンヘッケ代数の幾何的実現を拡張する。
• $\widehat{H}$ の作用は、関手 $C_i'$ を介して誘導され、これらは $\mathbb{P}^1$-ファイブレーションに沿った引き戻しと押し出しによって定義される。
• 階数写像 $\text{gr}: \mathbb{H} \to K^{T \times \mathbb{C}^*}(\Lambda)$ は同型であり、$W$ 上の Bruhat 順序によって誘導されるフィルターと一致する。関連する階数部分は $\mathcal{B}_w$ の $K$-理論に対応する。
• 演算子 $T_s = \bar{C}_s' - 1$ は、定義関係 $fT_s - T_s^s f = (q-1)\frac{f - {}^s f}{1 - e^{-\alpha}}$ を満たし、$\widehat{H}$ の代数的構造を確認する。
• $\mathcal{B}^s_n$ 上の $T \times \mathbb{C}^*$ の固定点から生じる標準的モジュールは、$\widehat{H}$ の作用をもつ。これは、多様体が有理型でなくても成り立つため、豊かな表現論を示唆する。