[論文レビュー] Affine Jacobi structures on vector and affine bundles

Janusz Grabowski, David Iglesias+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、付加的バンドル π: A→M 上のアフィンヤコビ構造と、A 上のアフィン汎関数のバンドル A⁺ 上のリーホッジド構造の間の一対一対応を確立する。有限次元実ベクトル空間上の強アフィンヤコビ構造は、アフィン表現の軌道に対応し、フレームに依存しない物理系への一般化として、コスタント＝アルノルド＝リウヴィル構造を拡張する。

ABSTRACT

We study affine Jacobi structures on an affine bundle π: A→M. We prove that there is a one-toone correspondence between affine Jacobi structures on A and Lie algebroid structures on the vector bundle A + = ⋃ p∈M Aff(Ap, R) of affine functionals. Some examples and applications, also for the linear case, are discussed. For a special type of affine Jacobi structures which are canonically exhibited (strongly-affine or affine-homogeneous Jacobi structures) over a real vector space of finite dimension, we describe the leaves of its characteristic foliation as the orbits of an affine representation. These affine Jacobi structures can be viewed as an analog of the Kostant-Arnold-Liouville linear Poisson structure on the dual space of a real finite-dimensional Lie algebra but, this time, more adapted for frame-free physical systems.

研究の動機と目的

• 付加的バンドル A→M 上のアフィンヤコビ構造と、A 上のアフィン汎関数のバンドル A⁺ 上のリーホッジド構造の間の一対一対応を確立すること。
• 有限次元実ベクトル空間上における特別なクラスのアフィンヤコビ構造—強アフィンまたはアフィン同次構造—を特徴付けること。
• これらの構造の特徴的foliation（特徴的分布）を、リーホッジドのアフィン表現の軌道として記述すること。
• 双対リーリー代数上の線形ポアソン構造に類似した、フレームに依存しない物理系の幾何的枠組みを提供すること。
• 幾何力学におけるコスタント＝アルノルド＝リウヴィル理論を、アフィン的かつ非線形な設定へと拡張すること。

提案手法

• A の各ファイバー上のアフィン汎関数のバンドル A⁺ = ⋃_{p∈M} Aff(A_p, ℝ) を構成する。
• A 上のアフィンヤコビ構造によって誘導される、A⁺ 上のリーホッジド構造を定義する。
• アフィンヤコビ構造の特徴的分布を用いて、その特徴的foliation（特徴的分布）を定義する。
• A 上のリーホッジドのアフィン表現の軌道として、foliation の葉を特定する。
• 有限次元実ベクトル空間上における強アフィンヤコビ構造の特別な場合を分析する。
• アフィン汎関数と元のアフィンバンドルの双対性を活用して、対応関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 付加的バンドル A→M 上のアフィンヤコビ構造と、そのアフィン汎関数のバンドル A⁺ 上のリーホッジド構造との間の正確な対応関係は何か？
• RQ2 アフィンヤコビ構造の特徴的foliation（特徴的分布）の葉は、幾何的群作用や表現とどのように関係するか？
• RQ3 双対リーリー代数上のコスタント＝アルノルド＝リウヴィル構造を、アフィン的かつフレームに依存しない設定へ一般化できるか？
• RQ4 有限次元実ベクトル空間上での強アフィンまたはアフィン同次ヤコビ構造を特徴付ける性質は何か？
• RQ5 ベクトル空間上のアフィンヤコビ構造は、基準フレームを持たない物理系の運動とどのように関係するか？

主な発見

• 付加的バンドル π: A→M 上のアフィンヤコビ構造と、A 上のアフィン汎関数のバンドル A⁺ 上のリーホッジド構造との間には、一対一対応が存在する。
• 有限次元実ベクトル空間上における強アフィンヤコビ構造の特徴的foliation（特徴的分布）の葉は、正確にアフィン表現の軌道である。
• アフィンヤコビ構造は、フレームに依存しない設定へのコスタント＝アルノルド＝リウヴィル線形ポアソン構造の一般化である。
• この構成は内在的であり、基底の選択を必要としないため、フレームに依存しない物理系に適している。
• A⁺ 上のリーホッジド構造は、A 上のアフィンヤコビ構造の全幾何的・代数的データを符号化している。
• 古典的な線形ポアソン構造の理論をアフィン的設定へと拡張し、主要な力学的および幾何的特徴を保持している。