[論文レビュー] Affine Jump-Diffusions: Stochastic Stability and Limit Theorems

Xiaowei Zhang, Peter W. Glynn|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、強い平均回帰条件およびジャンプのモーメント制限の下で、エルゴード性と指数的エルゴード性の十分条件を導出し、アフィンジャンプ拡散（AJD）過程の確率的安定性および極限定理を確立する。加法的関数へのほとんど確実収束および関数中央極限定理を証明し、ファイナンスおよび経済学で用いられるAJDモデルにおける統計的推定の基礎的漸近理論を提供する。

ABSTRACT

Affine jump-diffusions constitute a large class of continuous-time stochastic models that are particularly popular in finance and economics due to their analytical tractability. Methods for parameter estimation for such processes require ergodicity in order establish consistency and asymptotic normality of the associated estimators. In this paper, we develop stochastic stability conditions for affine jump-diffusions, thereby providing the needed large-sample theoretical support for estimating such processes. We establish ergodicity for such models by imposing a `strong mean reversion' condition and a mild condition on the distribution of the jumps, i.e. the finiteness of a logarithmic moment. Exponential ergodicity holds if the jumps have a finite moment of a positive order. In addition, we prove strong laws of large numbers and functional central limit theorems for additive functionals for this class of models.

研究の動機と目的

• ファイナンスおよび経済学で用いられるアフィンジャンプ拡散（AJD）モデルにおけるパrameter推定のための厳密な大標本理論的基盤を提供すること。
• AJD過程がエルゴード的および指数的エルゴード的である条件を確立し、定常分布の存在を保証すること。
• AJD過程の加法的関数への強大数法則（SLLN）および関数中央極限定理（FCLT）を導出すること。
• 状態に依存するジャンプを組み込み、任意次元へと拡張することで、従来のアフィン拡散に関する結果を一般化すること。
• ヘストンモデル、CIR、OU過程などの特殊ケースの既存の安定性結果を統一・拡張すること。

提案手法

• 強い平均回帰条件の下で、Lyapunov関数技術を用いてAJD過程の確率的安定性およびエルゴード性を確立する。
• エルゴード性を保証するためジャンプ分布に対し対数モーメント条件を課し、指数的エルゴード性のため正のモーメント条件を課す。
• マコフ過程の理論および半マルティングールの極限定理を用いて、正規化された加法的関数の弱収束をブラウン運動へと導出する。
• 不変測度と遷移核を用いたカップリング論法を用いて、経験過程の弱収束を証明する。
• アフィン構造を活用して、h(x) = x の特別な場合における漸近平均および漸近分散の明示的表現を導出する。
• 一般化されたリッカティ方程式の解法およびモーメント母関数解析に依存して、長期的挙動を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンジャンプ拡散過程がどのような条件下でエルゴード的となるか？
• RQ2 ジャンプ分布にどのようなモーメント条件を課すれば指数的エルゴード性が成立するか？
• RQ3 加法的関数への強大数法則および関数中央極限定理が、AJD過程の加法的関数に対していつ成立するか？
• RQ4 拡散項のみのアフィン過程やヘストンモデルなどの特殊ケースに対する従来の結果は、どのように一般化されるか？
• RQ5 アフィン構造の下で、経験平均の漸近分布を解析的に特徴づけられるか？

主な発見

• アフィンジャンプ拡散過程は、ドリフト項に強い平均回帰が見られ、ジャンプ分布に有限な対数モーメントが存在する場合にエルゴード的である。
• ジャンプ分布にある正の順序のモーメントが有限である場合、指数的エルゴード性が成立する。
• 強大数法則が成立する：加法的関数の経験平均は、不変測度の期待値へほとんど確実に収束する。
• 関数中央極限定理が成立する：正規化された経験過程は、Cadlag関数空間においてブラウン運動に弱収束する。
• 恒等関数 h(x) = x の場合、漸近平均は v = -(β + E[Z]κᵀ)⁻¹(b + λE[Z]) で明示的に与えられ、漸近共分散行列は Σ = A(a + λE[ZZᵀ])Aᵀ + Σᵢ vᵢ A(αᵢ + κᵢE[ZZᵀ])Aᵀ で与えられる。
• 初期条件に依存しない不変測度への経験測度の収束が一様に成立し、初期状態にかかわらず推定量のロバスト性が保証される。