[論文レビュー] Affine Kac-Moody symmetric spaces

Walter Freyn|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Tame Fréchet多様体と正則ループ群を用いて、有限次元のリーマン対称空間の無限次元版としてのアフィン Kac-Moody 対称空間の包括的な理論を確立する。Kac-Moody群の商として対称空間を構成し、コンパクト型と非コンパクト型の間の双対性を証明し、それらの固定部分群表現が古典的 $P(G,H)$-作用と一致することを示す。

ABSTRACT

Since the work of Henri Cartan finite dimensional Riemannian symmetric spaces are an important subject of mathematical interest. They are related in a natural way to semisimple Lie groups. In this work we introduce and study their infinite dimensional generalization: Affine Kac-Moody symmetric spaces. Affine Kac-Moody symmetric spaces are infinite dimensional symmetric spaces associated to affine Kac-Moody groups. They have the structure of tame Fréchet manifolds; the natural Ad-invariant scalar product on affine Kac-Moody algebras is Lorentzian, making affine Kac-Moody symmetric spaces into Lorentzian symmetric spaces. Similar to affine Kac-Moody groups sharing most of their structure properties with simple Lie group, also Kac-Moody symmetric spaces share most of their structure properties with their finite dimensional Riemannian counterparts. In particular the classification of Kac-Moody symmetric spaces follows the lines of the classification of finite dimensional Riemannian symmetric spaces: There are four types distinguished, which fall into the two classes of Kac-Moody symmetric spaces of the compact type and of the noncompact type. Symmetric spaces of the compact type and of the noncompact type are related by a duality relation. In addition the geometry of the rank 1-building blocks is the same for Kac-Moody symmetric spaces as for finite dimensional Riemannian symmetric spaces. Kac-Moody symmetric spaces appear in mathematics and theoretical physics: for example their isotropy representations are essentially equivalent to polar actions on Hilbert spaces; twin cities can be embedded equivariantly into the tangent space. In theoretical physics Kac-Moody symmetric spaces got recently a prominent place due to various conjectures relating them to certain formulations of supergravity theories and M-theory.

研究の動機と目的

• 有限次元のリーマン対称空間の無限次元版としてのアフィン Kac-Moody 対称空間の幾何的理論を構築すること。
• Kac-Moody代数に幾何的枠組みが欠如している問題を、関数解析的手法を用いて対称空間を構築することで解決すること。
• 有限次元と無限次元の両設定における対称空間の分類と幾何的構造を統一すること。
• 単連結な Kac-Moody 対称空間のコンパクト型と非コンパクト型の間の双対性を確立すること。
• 固定部分群表現を用いてこれらの空間を特徴づけ、それらが極性的作用と等光的部分多様体とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 無限次元微分構造の関数解析的基盤として、Tame Fréchet多様体を用いる。
• 複素再帰的 $G_\mathbb{C}$ に対して、正則ループ群 $\mathrm{Hol}(\mathbb{C}^*, G_\mathbb{C})$ のトーラス拡張として Kac-Moody群を構成し、複素化を可能にする。
• Tame写像に対する陰関数定理を適用して、正則写像の群の多様体構造を保証する。
• Kac-Moody群 $G$ 上の対合の固定部分群 $H$ を用いて、Kac-Moody対称空間を商 $G/H$ として定義する。
• 逆極限構成と $ILB$-構造を用いて、無限次元リー群および代数的枠組みを扱う。
• ループ群の複素化と固定部分群表現論を用いて、コンパクト型と非コンパクト型対称空間の間の双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン Kac-Moody 対称空間は、有限次元のリーマン対称空間の無限次元版として、どのように体系的に構成可能か？
• RQ2 これらの無限次元対称空間の微分幾何学的構造を支える関数解析的枠組みは何か？
• RQ3 Kac-Moody 対称空間におけるコンパクト型と非コンパクト型の双対性は、有限次元の対称空間理論における双対性をどのように一般化するか？
• RQ4 Kac-Moody 対称空間の固定部分群表現は、どの程度古典的 $P(G,H)$-作用と一致するか？
• RQ5 非コンパクト Kac-Moody 対称空間に対して「無限遠の境界」を定義することで、モストウ剛性の一般化が可能か？

主な発見

• アフィン Kac-Moody 対称空間は、Tame Fréchet Kac-Moodyリー群の商として構成され、有限次元対称空間の構成を一般化する。
• ループ群の複素化を用いて、単連結な Kac-Moody 対称空間のコンパクト型と非コンパクト型の間の双対性が理論的に確立される。
• Kac-Moody 対称空間の固定部分群表現は、[HPTT95] で導入された古典的 $P(G,H)$-作用と一致し、有限次元版との整合性が確認される。
• タイプ II, I, および非コンパクト型の Kac-Moody 対称空間における有限次元的フラットは、根空間分解を用いて明示的に記述可能であり、対称空間幾何と類似の構造を示す。
• この論文は、Kac-Moody 対称空間が平行な光的ベクトル場を持つため、無限次元のブリンクマン波であると特定し、ベルジャーのホロノミー定理の一般化を示唆する。
• 固定部分群に $S^1$ と解析的に同型な中心が存在することは、ヒルベルト対称空間との類似性を支持するが、準ヒルベルト構造の存在は未解決のままである。