[論文レビュー] Affine Lie algebras and vertex tensor categories

Yi-Zhi Huang, James Lepowsky|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 1997

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、有理的アフィンボゾンオペレータ代数のテンソル積を含む頂点演算子代数の加群の圏が、自己同型作用素が結合的である自然な頂点テンソル圏構造を備えていることを確立する。主な結果として、正の整数レベルにおけるアフィンリー代数の標準加群のbraidedテンソル圏構造が構成され、従来の conformal field theory の結果が拡張される。

ABSTRACT

We apply the general theory of tensor products of modules for a vertex operator algebra developed in our papers hep-th/9309076, hep-th/9309159, hep-th/9401119, q-alg/9505018, q-alg/9505019 and q-alg/9505020 to the case of the Wess-Zumino-Novikov-Witten models and related models in conformal field theory. We show that for the category of modules for a vertex operator algebra containing a subalgebra isomorphic to a tensor product of rational vertex operator algebras associated to affine Lie algebras, the intertwining operators among the modules have the associativity property, the category has a natural structure of vertex tensor category, and a number of related results hold. We obtain, as a corollary and special case, a construction of the previously-studied braided tensor category structure on the category of finite direct sums of standard (integrable highest weight) modules of a fixed positive integral level for an affine Lie algebra.

研究の動機と目的

• Wess-Zumino-Novikov-Witten モデルの文脈へ、頂点演算子代数の加群のテンソル積の一般理論を拡張すること。
• 有理的アフィンVOAのテンソル積を含む頂点演算子代数の加群の圏において、相互作用作用素の結合的性を確立すること。
• このような加群の圏が自然に頂点テンソル圏構造を備えていることを示すこと。
• 正の整数レベルにおけるアフィンリー代数の可積分最高重量加群の既知のbraidedテンソル圏構造が、VOAの一般テンソル積理論から回復・一般化できることを示すこと。

提案手法

• hep-th/9309076, hep-th/9309159 など、既存の頂点演算子代数の加群のテンソル積に関する研究を活用し、相互作用作用素の構造を分析する。
• アフィンリー代数に関連する有理的VOAのテンソル積に同型な部分代数を含む頂点演算子代数に理論を適用する。
• 相互作用作用素の結合的性を用いて、加群の圏に頂点テンソル圏構造を構成する。
• 一般枠組みを適用して、正の整数レベルにおけるアフィンリー代数の標準加群の有限直和のbraidedテンソル圏構造を導出する。
• アフィンリー代数の表現理論と有理的頂点演算子代数の性質に依拠し、有限性とモジュラリティを保証する。
• この圏がテンソル積に関して閉じており、頂点テンソル圏の公理を満たすことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的アフィンVOAのテンソル積を含む頂点演算子代数の加群の圏は、頂点テンソル圏構造を備えているか？
• RQ2 これらの加群間の相互作用作用素は、well-defined な意味で結合的か？
• RQ3 正の整数レベルにおけるアフィンリー代数の標準加群の既知のbraidedテンソル圏構造は、VOAの一般テンソル積理論から回復可能か？
• RQ4 加群の圏がテンソル積に関して閉じており、頂点テンソル圏の公理を満たすための条件は何か？
• RQ5 頂点演算子代数のテンソル積理論の一般枠組みは、WZNW モデルのような conformal field theories にどのように適用できるか？

主な発見

• 有理的アフィンVOAのテンソル積を含む頂点演算子代数の加群の圏は、自然な頂点テンソル圏構造を備えている。
• これらの加群間の相互作用作用素は、テンソル圏構造に必要な結合的性を満たす。
• 正の整数レベルにおけるアフィンリー代数の有限直和の標準（可積分最高重量）加群の圏は、braidedテンソル圏構造を備える。
• このbraidedテンソル圏構造は、一般構成の特別な場合として得られ、従来の結果と整合性が確認される。
• この構成は、アフィンリー代数に基づく rational conformal field theories におけるテンソル圏の理解を統一的に提供する。
• 結果として、頂点演算子代数のテンソル積理論の適用範囲が、Wess-Zumino-Novikov-Witten モデルのような物理的に重要なモデルへ拡張される。