[論文レビュー] Affine LPV systems: realization theory, input-output equations and relationship with linear switched systems

Mihály Petreczky, Guillaume Mercère+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2012

Advanced Control Systems Optimization被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、離散時間アフィン線形パrameter変動（LPV）システムに対するカルマン風の実現理論を確立し、入出力写像がアフィンLPV実現をもつための必要十分条件として、特定のクラスのアフィン多項式入出力方程式を満たすことであることを示している。この理論により、実現問題が線形スイッチドシステムの問題に還元され、ハンケル行列のランク条件による特徴付けが可能となり、Kalman-Ho法に基づく構成的アルゴリズムが得られ、有限なハンケル部分行列サイズの境界のもとで正しさが保証される。

ABSTRACT

We formulate a Kalman-style realization theory for discrete-time affine LPV systems. By an affine LPV system we mean an LPV system whose matrices are affine functions of the scheduling parameter. In this paper we characterize those input-output behaviors which exactly correspond to affine LPV systems. In addition, we characterize minimal affine LPV systems which realize a given input-output behavior. Furthermore, we explain the relationship between Markov-parameters, Hankel-matrices, existence of an affine LPV realization and minimality. The results are derived by reducing the problem to the realization problem for linear switched systems. In this way, as a secondary contribution, we formally demonstrate the close relationship between LPV systems and linear switched systems. In addition we show that an input-output map has a realization by an affine LPV system if and only if it satisfies certain types of input-output equations.

研究の動機と目的

• 線形時不変システムに対するカルマン理論に類似した、離散時間アフィンLPVシステムの実現理論を開発すること。
• 入出力挙動がアフィンLPVシステムによって実現可能である条件を、入出力方程式とハンケル行列のランク条件を用いて特徴づけること。
• アフィンLPVシステムの実現問題と線形スイッチドシステムの実現問題との間の同値性を確立し、後者の既知の結果を活用すること。
• Kalman-Ho法を用いて入出力データから最小のアフィンLPV実現を構成的に計算するアルゴリズムを提供すること。
• アフィンLPVシステムにおける最小性、到達可能性、可観測性、同型性の関係を明確にすること。

提案手法

• 実現が存在すると仮定せずに、入出力写像から直接マーキョフパラメータおよびハンケル行列を定義する。
• 入出力写像がアフィンLPV実現をもつための必要十分条件として、そのハンケル行列が有限ランクであることであることを証明する。
• ハンケル行列からKalman-Hoアルゴリズムを用いて実現を計算し、正しさを保証するための部分行列サイズの境界を提供する。
• 式（9）の形をしたアフィン多項式入出力方程式を導入し、実現可能性がこのような方程式を満たすことと同値であることを示す。
• 形式的同値性を用いて、アフィンLPVシステムの実現問題を線形スイッチドシステムの問題に還元する。
• 最小実現がパラメータに依存しない状態変換のもとで同型であり、最小性が到達可能性と可観測性と同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような入出力挙動がアフィンLPVシステムによって実現可能か？
• RQ2 ハンケル行列にどのような条件が満たされると、アフィンLPV実現が存在するか？
• RQ3 アフィンLPVシステムにおいて、到達可能性、可観測性、最小性はどのように関係しているか？
• RQ4 どのようなクラスの入出力方程式がアフィンLPVシステムを特徴づけるか？
• RQ5 アフィンLPVシステムと線形スイッチドシステムの間の実現問題に、形式的な関係は何か？

主な発見

• 入出力写像がアフィンLPV実現をもつための必要十分条件は、そのハンケル行列が有限ランクであることである。
• 十分に大きなハンケル部分行列が使用されれば、Kalman-Hoアルゴリズムを用いて正しくアフィンLPV実現を計算できることが保証され、そのサイズに上限が与えられる。
• 最小アフィンLPV実現は同型であり、最小性は到達可能性と可観測性と同値である。
• 入出力写像がアフィンLPVシステムによって実現可能であるための必要十分条件は、式（9）の形をしたアフィン多項式入出力方程式を満たすことである。
• アフィンLPVシステムの実現問題は、線形スイッチドシステムの実現問題と形式的に同値であり、既知の結果の移行が可能である。
• シフトされた入出力写像の空間 $\mathcal{W}_f = \mathrm{Span}\{f^{\underline{p}}\}$ が有限次元であることは、システムがアフィンLPVシステムによって実現可能であることと同値である。