[論文レビュー] Affine partitions and affine Grassmannians

Sara Billey, Stephen Α. Mitchell|ArXiv.org|Mar 25, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アフィン・ウェイル群の商群 $\widetilde{W}/W$ の元と、標準的セグメント因子分解から得られる色付き分割であるアフィン分割とを一対一対応づける。主な貢献は、弱順序を refine し、ブルハート順序を refine する一般化されたヤングのラティスを用いて、アフィン・グラスマンニアンにおける有理的滑らかさを特徴づけることであり、古典的および例外的型すべてにおいて、分割恒等式や幾何学的性質への応用が得られる。非型 $A$ の設定においても、以前に未知であった恒等式が新たに導かれる。

ABSTRACT

We give a bijection between certain colored partitions and the elements in the quotient of an affine Weyl group modulo its Weyl group. By Bott's formula these colored partitions give rise to some partition identities. In certain types, these identities have previously appeared in the work of Bousquet-Melou-Eriksson, Eriksson-Eriksson and Reiner. In other types the identities appear to be new. For type $A_{n}$, the affine colored partitions form another family of combinatorial objects in bijection with $n+1$-core partitions and $n$-bounded partitions. Our main application is to characterize the rationally smooth Schubert varieties in the affine Grassmannians in terms of affine partitions and a generalization of Young's lattice which refines weak order and is a subposet of Bruhat order. Several of the proofs are computer assisted.

研究の動機と目的

• アフィン・ウェイル群の商 $\widetilde{W}/W$ の最小長さのコセット代表元 $\widetilde{W}^S$ と、新たに導入された色付き分割であるアフィン分割との間の組合せ的双対性を確立すること。
• アフィン分割の枠組みを用いて、型 $A_n$ における $k$-コア、$k$-有界、およびスケル形状の既存の双対性を統一的かつ一般化すること。
• 弱順序を refine し、ブルハート順序を refine するアフィン分割上の一般化ヤングのラティスを構築し、有理的滑らかさを特徴づける新しい幾何的・組合せ的枠組みを提供すること。
• 双対性を用いてボットの公式から新たな分割恒等式を導出し、ボーサケット＝メルー＝エリクソンおよびライナーの既知の結果を、型 $A_n$ に限らないすべての型にまで拡張すること。
• アフィン分割の組合せ論と一般化ヤングのラティスを用いて、すべての型において、アフィン・グラスマンニアンにおける有理的滑らかさのシューベルティアンの均一な、型に依存しない特徴づけを提供すること。

提案手法

• 有限ウェイル群の作用とディンキン図の自己同型から導かれるセグメントに基づいて、$\widetilde{W}^S$ の要素の標準的因子分解を構成する。
• 各部分がセグメントに対応する色付き分割としてアフィン分割を定義し、$\widetilde{W}^S$ からアフィン分割の集合への長さを保存する写像を保つ。
• セグメント単位の優越性と順序関係を用いて、弱順序を refine し、ブルハート順序を refine するアフィン分割上の一般化ヤングのラティスを導入する。
• 双対性を用いて、シューベルティアン多様体の幾何的性質（例えば有理的滑らかさ）をアフィン分割上の組合せ的条件に翻訳する。
• ボットの公式を用いてアフィン・グラスマンニアンのペアノカリエーション系列を導出し、生成関数を $P_{\widetilde{W}^S}(t) = \prod_{i=1}^n (1 - t^{e_i})^{-1}$ と表す。ここで $e_i$ は $W$ の指数である。
• 特に型 $A_n$ および例外型において、組合せ論的および順序論的性質を確認するため、コンピュータ支援の検証を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン・ウェイル群の商 $\widetilde{W}/W$ の最小長さコセット代表元 $\widetilde{W}^S$ を、自然な組合せ的対象族へ一意に写像する方法は何か？
• RQ2 弱順序を refine し、ブルハート順序を refine するアフィン分割上の一般化ヤングのラティスの構造は何か？
• RQ3 アフィン分割の組合せ論は、特に有理的滑らかさに関して、アフィン・グラスマンニアンにおけるシューベルティアン多様体の幾何学をどのように反映するか？
• RQ4 ボットの公式から双対性を介して得られる新たな分割恒等式は何か？また、それらは型 $A_n$、$B_n$、$C_n$、$D_n$、$E_6$、$E_7$、$E_8$、$F_4$、$G_2$ における既知の恒等式とどのように関係するか？
• RQ5 すべての型において、有理的滑らかさのシューベルティアン多様体の特徴づけを、アフィン分割およびその順序論的性質に基づいて一様に表現できるか？

主な発見

• アフィン分割と $\widetilde{W}^S$ の要素との間の双対性が確立され、各要素が標準的セグメント因子分解から得られる色付き分割に対応し、長さが保存され、組合せ論的解析が可能になる。
• アフィン分割上の一般化ヤングのラティスは、左弱順序を refine し、ブルハート順序を refine する新しいポセット構造を提供し、アフィン・グラスマンニアンにおけるシューベルティアン多様体の階層を捉える。
• 本稿では、有理的滑らかさの新しい特徴づけが与えられる：$X_w$ が有理的滑らかであることは、$\{v \in \widetilde{W}^S : v \leq w\}$ が全順序である、または $w$ が閉じたパラボリック軌道である、または $w$ が型 $A_n$ でらせん的である、または $w$ が型 $B_3$ で特定の要素であることに同値である。
• ボットの公式から新たな分割恒等式が導かれる。Bousquet-Mélou–Eriksson および Reiner の既知の結果を、型 $A_n$ に限らないすべての型にまで拡張し、型 $B_n$、$C_n$、$D_n$、$E_6$、$E_7$、$E_8$、$F_4$、$G_2$ における恒等式は、これまでに未知であった可能性がある。
• 型 $A_n$ において、アフィン分割は $n+1$-コア分割、$n$-有界分割、長さのないフックをもたないスケル形状を統一する新しい組合せ的枠組みを提供し、これらよく知られた族に対する新たな視点を提供する。
• 本研究により、アフィン・グラスマンニアンのペアノカリエーション系列が $P_{\widetilde{W}^S}(t) = \prod_{i=1}^n (1 - t^{e_i})^{-1}$ で与えられ、ここで $e_i$ は有限ウェイル群 $W$ の指数であることが確認され、この生成関数がアフィン分割モデルによって実現されることを示した。