[論文レビュー] Affine planes, ternary rings, and examples of non-Desarguesian planes

Nikolai V. Ivanov|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Mathematics and Applications参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、三項環を用いたアフィン平面およびその座標系の自己完結的かつ包括的な解説を提示する。三項演算子に対して新しい記法 ⟨ax+b⟩ を導入し、非ディラスキー平面の構成を示す。具体的には、左または右の準体（quasi-field）で、乗法が非結合的または非分配的である（例：左アンドレ準体）場合、それらは任意の斜体によって定義される平面と同型でないアフィン平面を生じさせることを示し、非ディラスキー幾何の明示的例を提供する。

ABSTRACT

The paper is devoted to a detailed self-contained exposition of a part of the theory of affine planes leading to a construction of affine (or, equivalently, projective) planes not satisfying the Desarques axiom. It is intended to complement the introductory expositions of the theory of affine and projective planes. A novelty of our exposition is a new notation for the ternary operation in a ternary ring, much more suggestive than the standard one.

研究の動機と目的

• アフィン平面およびその代数的座標化を三項環を用いて包括的かつ自己完結的に解説すること。
• 組合せ幾何学と抽象代数学の間のギャップを埋め、非斜体座標系から生じる非ディラスキー平面の仕組みを示すこと。
• 三項環における三項演算子をより直感的な記法 ⟨ax+b⟩ で表現し、理論へのアクセス性を向上させること。
• 乗法が非結合的または非分配的である左・右準体を用いて、非ディラスキーなアフィン平面の明示的例を構成すること。
• このような平面がいかなる斜体によっても座標化できないこと、したがって非ディラスキー性が保証されることを示すこと。

提案手法

• アフィン平面を公理的に定義し、任意のアフィン平面が三項環上の座標系を備えることを確立する。
• 三項演算子の新しい記法 ⟨ax+b⟩ を導入し、標準的な表記 (a,x,b)↦x·a∘b の代わりに用いることで、明確性と直感性を向上させる。
• 三項環とそれに対応するアフィン平面間の同型および同型型条件を確立する。
• ガロア理論を用いて、有限自己同型群を持つ体拡大を構成し、非結合的・非分配的準体の構成を可能にする。
• 定理12, 17, 19を応用し、代数的性質に欠陥のある左または右準体上に定義されたアフィン平面が、いかなる斜体によって定義された平面とも同型でないことを示す。
• 自己同型群への準同型 φ を用いて、アフィン平面の構成に適した左アンドレ準体を構成し、非結合性または右分配法則の不成立を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン平面はどのように三項環を用いて座標化可能か？ また、その環の代数的性質は、幾何学的公理に対応するか？
• RQ2 どの条件下で三項環が、対応するアフィン平面がディラスキーの公理を満たすことを保証するか？
• RQ3 斜体以外の代数的構造を用いて、非ディラスキーなアフィン平面を明示的に構成可能か？
• RQ4 自己同型およびガロア理論的構成は、非結合的または非分配的準体の生成にどのように寄与するか？
• RQ5 どのような条件下で、準体上で定義された平面が、いかなる斜体上で定義された平面とも同型でないか？

主な発見

• 斜体上で定義されたアフィン平面はディラスキーの公理を満たし、逆にディラスキーの公理を満たす平面は斜体座標系を備える。
• 三項演算子の新しい記法 ⟨ax+b⟩ は、三項環理論の可読性とアクセス性を著しく向上させる。
• 乗法が非結合的な左アンドレ準体は、任意の斜体上で定義された平面と同型でないアフィン平面を生成し、非ディラスキー性を示す。
• 右分配法則が成立しない左準体上で定義された平面も非ディラスキーである。これは、いかなる斜体によっても座標化できないためである。
• 左分配法則が成立しない右準体でも、定理17および左準体平面との非同型性により、非ディラスキー平面が得られる。
• ガロア理論的選択による自己同型群および準同型 φ の選定により、このような平面の明示的構成が可能となり、非結合的または非分配的代数の構築が可能になる。