[論文レビュー] Affine processes are regular

Martin Keller‐Ressel, Walter Schachermayer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、標準的状態空間 ℝᵐ₊ × ℝⁿ 上の確率的連続性および時刻均一性を持つアフィン過程が、元々理論において必要とされていた正則性仮定を除いても、自動的に正則であることを証明している。この証明は、変換作用素群の理論と移動フレーム法を組み合わせており、確率的連続性と特性関数のアフィン構造が時間微分可能性を示唆することを示しており、正則性は仮定ではなく結果として得られる。

ABSTRACT

We show that stochastically continuous, time-homogeneous affine processes on the canonical state space $\Rplus^m imes \RR^n$ are always regular. In the paper of \citet{Duffie2003} regularity was used as a crucial basic assumption. It was left open whether this regularity condition is automatically satisfied, for stochastically continuous affine processes. We now show that the regularity assumption is indeed superfluous, since regularity follows from stochastic continuity and the exponentially affine behavior of the characteristic function. For the proof we combine classic results on the differentiability of transformation semigroups with the method of the moving frame which has been recently found to be useful in the theory of SPDEs.

研究の動機と目的

• 確率的連続性のみから、アフィン過程の正則性が導かれるかどうかという未解決の問題を解消すること。
• Duffie, Filipović, and Schachermayer (2003) が導入したアフィン過程理論の基礎的枠組みにおいて、正則性仮定を必要としなくなるようにすること。
• 特性関数の指数的アフィン構造と確率的連続性を組み合わせることで、モーメント生成関数の成分の時間微分可能性が保証されることを確立すること。
• 正則性が自然な条件下で独立した仮定ではなく、導出可能な性質であることを示すことにより、アフィン過程理論の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 著者らは、元のアフィン過程を時刻均一構造を持つ準同型アフィン過程に変換する移動フレーム法を適用する。
• 経路ごとの変換 T[X]_t = X_t - K^T ∫₀ᵗ X_s ds を用いて線形ドリフトを除去し、新たな過程 Z を得る。この Z は確率的連続性を継承する。
• 部分積分を用いた逆変換により、経路ごとの可逆性と法則の保存性が保証される。
• 塔の性質とリーマン和近似を用いて、時刻の分割に沿った特性関数成分 p(N; t, u) および q(N; t, u) の再帰的系を導出する。
• 再帰的列が N → ∞ のとき収束することを示し、well-defined な関数 p(t, u) および q(t, u) を得、これらが準同型アフィン性を満たすことを示す。
• 定理 4.3 を適用することで、変換後の過程 Z が正則であると結論づけ、変換が可逆かつ法則を保存するため、元の過程 X に対しても正則性が成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン過程の確率的連続性は、特性関数成分の時間微分可能性（正則性）を示唆するか。
• RQ2 Duffie-Filipović-Schachermayer (2003) フレームワークにおける正則性仮定を、一般化の損失なしに排除できるか。
• RQ3 アフィン過程の関数方程式構造（ψ(t+s,u) = ψ(t,ψ(s,u))) が、確率的連続性のもとで時間微分可能性を保証するのに十分か。
• RQ4 移動フレーム法を用いて一般アフィン過程を準同型形に簡略化し、既存の正則性結果を活用できるか。

主な発見

• ℝᵐ₊ × ℝⁿ 上の確率的連続性および時刻均一性を持つすべてのアフィン過程は、自動的に正則であり、特性関数に現れる関数 Φ および ψ は時間微分可能で、その微分係数は連続である。
• 正則性は、モーメント条件を仮定せず、確率的連続性と特性関数の指数的アフィン構造に起因して成立する。
• 変換 T[X]_t = X_t - K^T ∫₀ᵗ X_s ds は、元の過程を、正則性が保証された準同型アフィン過程に写像する。
• 逆変換は経路ごとに存在し、法則を保存するため、元の過程も正則であると結論づけられる。
• 元の枠組みにおける集合 Q が、全定義域 U に等しいことが示され、したがって Φ(t,u) の対数は主分枝により一意に定義可能である。
• この結果により、Duffie ら (2003) のフェインマン＝カックの公式と半マルティンゲール特徴付けが、確率的連続なアフィン過程に普遍的に適用可能であることが確認された。