[論文レビュー] Affine Schubert Varieties and Circular Complexes

Péter Magyar|ArXiv.org|Oct 10, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Lusztigの巡回クービー表現に関する結果を用いて、円形複体の多様体とループ群 $\widehat{GL}_n$ のアフィン・シューベルト多様体の開部分集合との間の幾何的同型を確立する。円形複体の多様体に対してボット・サマエルソン解体を構成し、それが正規的で、コhen-マカウレイ的であり、有理的特異点を持つことを証明する。これにより、MehtaとTrivediの結果がシューベルト幾何学を用いて回復されかつ拡張される。

ABSTRACT

Schubert varieties have been exhaustively studied with a plethora of techniques: Coxeter groups, explicit desingularization, Frobenius splitting, etc. Many authors have applied these techniques to various other varieties, usually defined by determinantal equations. It has turned out that most of these apparently different varieties are actually Schubert varieties in disguise, so that one may use a single unified theory to understand many large families of spaces. The most powerful result in this direction was given by Lusztig as a footnote to his work on canonical bases. He showed that the variety of nilpotent representations of a cyclic quiver (including nilpotent conjugacy classes of matrices) is isomorphic to an open subset of a Schubert variety for the loop group GL(n)^. In this paper, we attempt to describe the affine Schubert varieties and Lusztig's isomorphism in the simplest terms possible. We then apply this isomorphism to an interesting example, the variety of circular complexes, recovering some results of Mehta and Trivedi.

研究の動機と目的

• 円形複体の多様体をループ群 $\widehat{GL}_n$ のアフィン・シューベルト多様体の開部分集合として解釈すること。
• アフィン・シューベルト多様体とノルム的軌道の間のLusztigの同型を、円形複体のケースに適用すること。
• アフィン・ワイル群の簡約語を用いて、円形複体の多様体に対するボット・サマエルソン解体を構成すること。
• 円形複体の多様体およびその $GL_n(\mathbf{k})$-軌道が正規的で、コhen-マカウレイ的であり、有理的特異点を持つことを証明すること。

提案手法

• ループ群 $G = \widehat{GL}_n(\mathbf{k}) = GL_n(F)$（$F = \mathbf{k}((t))$）を用いて、アフィン・フラッグ多様体およびアフィン・グラスマン多様体を定義する。
• アフィン・ワイル群の元によって添字づけられる、フラッグ多様体 $G/B$ 内の $G_0$-軌道の閉包としてアフィン・シューベルト多様体を定義する。
• 円形複体に関連するアフィン置換 $\pi$ の簡約分解を、ワイヤー図におけるケーブルの交差を用いて構成する。
• 簡約語 $\mathbf{i}$ に付随するボット・サマエルソン多様体 $Z_\mathbf{i}$ を用いて、シューベルト多様体 $X_\pi$ の特異点を解体し、それが円形複体の多様体に双有理的に写像されることを示す。
• ボット・サマエルソン多様体を、フラッグ多様体上での繰り返し $\mathbb{P}^1$-バンドルとしての標準的構成を用いて定義し、その次元は語の長さに等しい。
• 中間の格子を無視することで、$Z_\mathbf{i}$ から $X_\pi$ への正則で双有理的写像を定義し、$X_\pi$ が反対側のセルの閉包の解体であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円形複体の多様体は、$\widehat{GL}_n$ のアフィン・フラッグ多様体におけるシューベルト多様体としてどのように実現可能か？
• RQ2 円形複体の多様体の幾何的構造は何か？ また、標準的なシューベルト理論的道具を用いて解体可能か？
• RQ3 Lusztigの巡回クービー表現とアフィン・シューベルト多様体の間の同型は、円形複体のケースにどのように適用可能か？
• RQ4 円形複体の多様体の特異点は何か？ 有理的特異点であり、正規的で、コhen-マカウレイ的か？
• RQ5 円形複体の多様体に対してボット・サマエルソン解体を構成可能か？ その次元は？

主な発見

• Lusztigの構成を用いて、円形複体の多様体 $\mathcal{L}_c$ は、ループ群 $\widehat{GL}_n$ のアフィン・シューベルト多様体の開部分集合と同型である。
• $\mathcal{L}_c$ の次元は $ab$ であり、関連するアフィン置換 $\pi$ の長さ $\ell(\pi)$ に一致する。これはワイヤー図におけるケーブルの交差数から計算される。
• $c=1$, $a=2$, $b=3$, $n=5$ の場合、簡約語 $\mathbf{i} = (1,3,4,3,0,2)$ を用いて、次元 $\ell(\pi) = 6$ のボット・サマエルソン解体 $Z_\mathbf{i}$ が構成される。
• $Z_\mathbf{i}$ は $X_\pi$ に正則かつ双有理的に写像され、$X_\pi$ は反対側のセルの閉包 $X'_\pi \cong \mathcal{L}_c$ と同型であるため、解体が証明される。
• $\mathcal{L}_c$ およびそのすべての $GL_n(\mathbf{k})$-軌道は正規的で、コhen-マカウレイ的であり、有理的特異点を持つ。これは、シューベルト理論的手法を用いて、MehtaとTrivediの結果が回復されかつ拡張されることを確認する。
• この構成により、$Z_\mathbf{i}$ は商 $t^{-1}E_3/tE_1$ を通じて有限次元のフラッグ多様体に埋め込まれ、フロベニウス分割などの標準的道具の使用が可能になる。