[論文レビュー] Affine Screening Operators, Affine Laumon Spaces, and Conjectures Concerning Non-Stationary Ruijsenaars Functions

Jun’ichi Shiraishi|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、アフィンスクリーニング作用素から導かれる形式的べき級数として、非定常 Ruijsenaars 関数 $ f^{\widehat{\mathfrak{gl}}_N}(x,p|s,\kappa|q,t) $ を導入し、これがアフィン Laumon 空間のオイラー標数の生成関数と同一視されることを示している。主な貢献は、この関数が楕円 Ruijsenaars 作用素の固有関数および $ \widehat{\mathfrak{sl}}_N $ の支配的可解特性と関連する、双対性、ペイオニエリ・ドゥアルティー、評価公式に関する予想のセットである。特に、$ \kappa \to 1 $ の極限で正規化され、定常固有関数に収束することを主な予想として提示している。

ABSTRACT

Based on the screened vertex operators associated with the affine screening operators, we introduce the formal power series f^{hat{gl}_N}(x,p|s,kappa|q,t) which we call the non-stationary Ruijsenaars function. We identify it with the generating function for the Euler characteristics of the affine Laumon spaces. When the parameters s and kappa are suitably chosen, the limit t rightarrow q of f^{hat{gl}_N}(x,p|s,kappa|q,q/t) gives us the dominant integrable characters of hat{sl}_N multiplied by 1/(p^N;p^N)_infty (i.e. the hat{gl}_1 character). Several conjectures are presented for f^{hat{gl}_N}(x,p|s,kappa|q,t), including the bispectral and the Poincare dualities, and the evaluation formula. Main Conjecture asserts that (i) one can normalize f^{hat{gl}_N}(x,p|s,kappa|q,t) in such a way that the limit kappa rightarrow 1 exists, and (ii) the limit f^{st.hat{gl}_N}(x,p|s|q,t) gives us the eigenfunction of the elliptic Ruijsenaars operator. The non-stationary affine q-difference Toda operator T^{hat{gl}_N}(kappa) is introduced, which comes as an outcome of the study of the Poincare duality conjecture in the affine Toda limit t rightarrow 0. Main Conjecture is examined also in the limiting cases of the affine q-difference Toda (t rightarrow 0), and the elliptic Calogero-Sutherland (q,t rightarrow 1) equations.

研究の動機と目的

• アフィンスクリーニング作用素を用いて、Ruijsenaars 固有関数の非定常一般化を定義・構成すること。
• 文字の比較を通じて、生成関数 $ f^{{\widehat{\mathfrak{gl}}}_N} $ をアフィン Laumon 空間のオイラー標数の生成関数と同定すること。
• 非定常関数 $ f^{{\widehat{\mathfrak{gl}}}_N} $ が楕円 Ruijsenaars 作用素の固有関数および $ \widehat{\mathfrak{sl}}_N $ の支配的可解特性と関連することを示す予想を提示すること。
• 特に $ q $-差分アフィン Toda および楕円 Calogero-Sutherland 系の退化極限を、関数の予想的極限を通じて探求すること。

提案手法

• アフィンスクリーニング作用素に関連するスクリーンド頂点作用素の合成の行列要素として、非定常 Ruijsenaars 関数 $ f^{{\widehat{\mathfrak{gl}}}_N}(x,p|s,\kappa|q,t) $ を導出すること。
• $ q $-変種 $ K $-理論的 Nekrasov 関数 $ {\mathsf{N}}^{(k|N)}_{\lambda,\mu}(u|q,\kappa) $ を用い、$ N $ を法とする巡回添え字に沿った積の分割により、級数を構成すること。
• Poincaré 双対性予想の $ t \to 0 $ での極限において、非定常アフィン $ q $-差分 Toda 作用素 $ \mathcal{T}^{{\widehat{\mathfrak{gl}}}_N}(\kappa) $ を導出すること。
• $ q $-二項定理および $ \theta $-関数の性質を用いて、特に $ k=0 $ での退化極限における収束性と正則性を分析すること。
• 正則性を仮定して、$ k=0 $ での正規化 $ \varphi^{\text{st. eCS}} = \varphi^{\text{eCS}} / \alpha(p|\lambda,k|\beta) \big|_{k=0} $ を用いて、定常極限 $ \varphi^{\text{st. eCS}} $ を定義すること。
• 準基底状態 $ \psi_0(x,p|\beta) $ 及び $ (p^N; p^N)_\infty $ による正規化を用い、Weyl-Kac の分母を回復し、特殊ケースでの予想の検証を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常 Ruijsenaars 関数 $ f^{{\widehat{\mathfrak{gl}}}_N} $ は、$ \kappa \to 1 $ 極限が存在するように正規化可能か？
• RQ2 $ \kappa \to 1 $ 極限における $ f^{{\widehat{\mathfrak{gl}}}_N} $ は、楕円 Ruijsenaars 作用素の固有関数となるか？
• RQ3 非定常関数 $ f^{{\widehat{\mathfrak{gl}}}_N} $ は、文字の比較によりアフィン Laumon 空間のオイラー標数と関連しているか？
• RQ4 $ t \to 0 $ 極限において、関数は非定常アフィン $ q $-差分 Toda 作用素を生成するか？
• RQ5 $ f^{\text{eCS}} / \alpha(p|\lambda,k|\beta) $ は $ k=0 $ で正則か？また、$ \frac{1}{k} p \frac{\partial}{\partial p} \log \alpha $ は $ p^N $ の非自明なテイラー級数に収束するか？

主な発見

• 非定常 Ruijsenaars 関数 $ f^{{\widehat{\mathfrak{gl}}}_N}(x,p|s,\kappa|q,t) $ は、文字の比較を通じてアフィン Laumon 空間のオイラー標数の生成関数と同一視された。
• 定義 1.6 に従い、$ s_i, \kappa $ を支配的可解 $ \widehat{\mathfrak{sl}}_N $ 表現に対応するパラメータに設定すると、$ f^{{\widehat{\mathfrak{gl}}}_N}(x,p|s,\kappa|q,q/t) $ は正規化を除き Etingof および Kirillov Jr. のアフィンマケドニカル多項式と一致する。
• 主な予想は、$ f^{{\rm st.}\,\widehat{\mathfrak{gl}}_N}(x,p|s|q,t) = \lim_{\kappa \to 1} f^{{\widehat{\mathfrak{gl}}}_N}(x,p|s,\kappa|q,t) $ が楕円 Ruijsenaars 作用素の固有関数であるというものである。
• $ t \to 0 $ 極限において、Poincaré 双対性予想から非定常アフィン $ q $-差分 Toda 作用素 $ \mathcal{T}^{{\widehat{\mathfrak{gl}}}_N}(\kappa) $ が導かれる。
• $ \beta = 1 $ の場合、関数 $ x^\mu \varphi^{\text{eCS}} $ は $ \frac{1}{2} \sum \mu_i^2 $ を固有値とする熱方程式を満たし、予想の特殊ケースが確認された。
• $ K=0, \mu=\emptyset $ の場合、関数 $ \psi_0(x,p|\beta) / (p^N; p^N)_\infty $ は Langmann のカーネル恒等式を満たし、$ \beta $-独立極限における予想 7.2 が確認された。