[論文レビュー] Affine sl_p controls the representation theory of the symmetric group and related Hecke algebras

I. Grojnowski|ArXiv.org|Jul 21, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 85

ひとこと要約

この論文は、アフィンリー代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ が、グローテンディエック群への作用を通じて、対称群および関連するヘッケ代数のモジュラー表現理論を制御することを確立する。また、統合表現の $p$-正規基底を新たに導入し、グローバルクリスタル基底と同様に正の性質と整数性を持つことを示し、非可約表現のクリスタルグラフが代数の標準的クリスタル構造と一致することを証明する。

ABSTRACT

In this paper we prove theorems that describe how the representation theory of the affine Hecke algebra of type A and of related algebras such as the group algebra of the symmetric group are controlled by integrable highest weight representations of the characteristic zero affine Lie algebra \hat{sl}_l. In particular we parameterise the representations of these algebras by the nodes of the crystal graph, and give various Hecke theoretic descriptions of the edges. As a consequence we find for each prime p a basis of the integrable representations of \hat{sl}_l which shares many of the remarkable properties, such as positivity, of the global crystal basis/canonical basis of Lusztig and Kashiwara. This {\it $p$-canonical basis} is the usual one when p = 0, and the crystal of the p-canonical basis is always the usual one. The paper is self-contained, and our techniques are elementary (no perverse sheaves or algebraic geometry is invoked).

研究の動機と目的

• アフィンヘッケ代数の表現理論と、アフィンリー代数 $\widehat{\mathfrak{s}l}_\ell$ の統合表現理論との深い関係を確立すること。
• 対称群およびヘッケ代数の表現理論を用いて、$\widehat{\mathfrak{s}l}_\ell$-加群に対する $p$-正規基底の新しい、初等的な構成を与えること。
• この $p$-正規基底が、ルシュチツィグとカシワラのグローバルクリスタル基底と同様に、非負の構造定数と整数性といった重要な性質を共有することを示すこと。
• 特徴 $p$ の正の整数における対称群の非可約表現のクリスタルグラフが、$\widehat{\mathfrak{s}l}_p$-加群の標準的クリスタルグラフと同型であることを示すこと。

提案手法

• 特徴 $p$ または $0$ の体上のアフィンヘッケ代数および巡回的ヘッケ代数の表現に対して、グローテンディエック群を定義する。
• モジュール圏上の作用 $e_i$ および $f_i$ を構成し、グローテンディエック群に移行することで、アフィンリー代数 $\widehat{\mathfrak{s}l}_\ell$ に上昇させること。
• これらの作用のコソクルフィルトレーションを用いてクリスタル作用素を定義し、非可約表現に組み合わせ論的構造を与える。
• アフィンヘッケ代数のグローテンディエック群が、$\widehat{\mathfrak{s}l}_\ell$ の上三角部分の普遍包あらわし代数 $U\eta_\ell$ の双対と同型であり、最高ウェイト加群作用を備えていることを示す。
• $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上のアフィンヘッケ代数の非可約表現の双対として $p$-正規基底を定義する。
• $p$-正規基底が $e_i$ および $f_i$ の作用に関して非負の整数構造定数を持つことを証明し、$p=0$ のときにはグローバルクリスタル基底に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴 $p$ における対称群の表現理論は、アフィンリー代数 $\widehat{\mathfrak{s}l}_p$ の表現理論とどのように関係しているか？
• RQ2 ヘッケ代数のモジュラー表現理論から、$\widehat{\mathfrak{s}l}_\ell$ の統合表現に対する、グローバルクリスタル基底に類似した性質を持つ新しい基底を構成できるか？
• RQ3 クリスタルグラフは、正の整数における対称群およびヘッケ代数の非可約表現をどのように整理しているか？
• RQ4 アフィンリー代数 $\widehat{\mathfrak{s}l}_\ell$ のチェバリーゲネレータ $e_i$ および $f_i$ は、ヘッケ代数の表現のグローテンディエック群にどのように作用するか？
• RQ5 $p$-正規基底とルシュチツィグおよびカシワラの正規基底との関係は何か？

主な発見

• 特徴 $p$ の $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上のアフィンヘッケ代数のグローテンディエック群は、$\widehat{\mathfrak{s}l}_\ell$ の上三角部分の普遍包あらわし代数 $U\eta_\ell$ の双対と同型であり、ホップ代数構造を備えることが示された。
• 巡回的ヘッケ代数 $H_n^\lambda$ のグローテンディエック群は、$\lambda$ によって定まる最高ウェイトを持つ $\widehat{\mathfrak{s}l}_\ell$ の非可約統合最高ウェイト加群の双対であり、対称群の場合を一般化する。
• $\widehat{\mathfrak{s}l}_\ell$ の $p$-正規基底は、$\overline{\mathbb{F}}_p$ 上のアフィンヘッケ代数の非可約表現の双対として定義され、$e_i$ および $f_i$ の作用に関して非負の整数構造定数を持つ。
• $p$-正規基底は、すべての統合最低ウェイト加群の基底に下方に降下し、その構造定数は非負の整数である。
• $p=0$ のとき、$p$-正規基底はルシュチツィグおよびカシワラのグローバルクリスタル基底（正規基底）と一致し、$p$-正規基底のクリスタルグラフは標準的クリスタルグラフと同一である。
• 特徴 $p$ における $S_n$ の非可約モジュラー表現の数の母関数は、$\widehat{\mathfrak{s}l}_p$ の基本表現の特性と等しく、これはフォック空間として実現される。