[論文レビュー] Affine stacks (Champs affines)

B. Toen|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2000

Avian ecology and behavior被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有理数的およびp進ホモトピー論のための新しい枠組みを提供する、アフィン的スキームのホモトピー的一般化としてのアフィンスタックを導入する。スケマティックなホモトピー型は、普遍的なアフィネーション関手を介して構成され、グロタンディークのスキマティゼーション問題を有理数的およびp進の設定を超えて解くものであり、代数的多様体のためのホモトピー的モデルを通じて、さまざまなコホロロジー理論を統一する。

ABSTRACT

This is an expended and revised version of the preprint "Schematization of homotopy types". The purpose of this work is to introduce a notion of \emph{affine stacks}, which is a homotopy version of the notion of affine schemes, and to give several applications in the context of algebraic topology and algebraic geometry. As a first application we show how affine stacks can be used in order to give a new point of view (and new proofs) on rational and $p$-adic homotopy theory. This gives a first solution to A. Grothendieck's \emph{schematization problem} described in \cite{gr}. We also use affine stacks in order to introduce a notion of \emph{schematic homotopy types}. We show that schematic homotopy types give a second solution to the schematization problem, which also allows us to go beyound rational and $p$-adic homotopy theory for spaces with arbitrary fundamental groups. The notion of schematic homotopy types is also used in order to construct various homotopy types of algebraic varieties corresponding to various cohomology theories (Betti, de Rham, $l$-adic, ...), extending the well known constructions of the various fundamental groups. Finally, as algebraic stacks are obtained by gluing affine schemes we define \emph{$\infty$-geometric stacks} as a certain gluing of affine stacks. Example of $\infty$-geometric stacks in the context of algebraic topology (moduli spaces of dga structures up to quasi-isomorphisms) and Hodge theory (non-abelian periods) are given.

研究の動機と目的

• アフィンスタックを用いたホモトピー的一般化としてのアフィン的スキームを発展させ、有理数的およびp進ホモトピー論の新たな幾何的解釈を可能にする。
• 任意の基本群を持つ空間を対象とするA. グロタンディークのスキマティゼーション問題を、スケマティックなホモトピー型としての普遍的構成を導入することによって解く。
• 代数的多様体にスケマティックなホモトピー型を関連させることで、さまざまなコホロロジー理論（ベッチ、ド・ラーム、ℓ-adic、クリスタリン）を統一する。
• ∞-幾何的スタックをアフィンスタックの貼り合わせとして定義し、dga が quasi-isomorphism で同値とみなされる構造を含むモジュライ理論を拡張する。
• フィルトレーテッドdga構造を用いて非アーベル周期写像を定義し、古典的なアーベル・ジャコビ理論を一般化する。

提案手法

• ベース環上のアフィン的スキームのfpqcサイトにおける単体的プレシェーブを、∞-群値スタックのモデルとして用いる。
• アフィンスタックを、ココネネクティブなコシンプレックス代数によって表されるホモトピー型として定義し、アフィン的スキームを一般化する。
• ホモトピー型からアフィンスタックへの普遍的なアフィネーション関手を構成し、導来的な普遍性を満たす。
• 普遍的な関手的構成を用いて、有理数的およびp進ホモトピー型の改良版としてのスケマティックなホモトピー型を導入する。
• アフィネーション関手を適用して、ベッチ、ド・ラーム、ℓ-adic、クリスタリンコホロロジー理論に関連するホモトピー型を構成する。
• ∞-幾何的スタックをアフィンスタックの∞-圏的余極限として定義し、dga構造やフィルトレーテッド代数のモジュライ問題を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンスタックは、有理数的およびp進ホモトピー型をモデル化するための、アフィン的スキームのホモトピー的一般化としてどのように機能するか？
• RQ2 ホモトピー型からアフィンスタックへの普遍的関手は、有理数的およびp進の設定を超えて、グロタンディークのスキマティゼーション問題を解けるか？
• RQ3 スケマティックなホモトピー型は、ホモトピー的モデルを通じて、さまざまなコホロロジー理論（例：ベッチ、ℓ-adic、クリスタリン）をどのように統一するか？
• RQ4 フィルトレーテッドdga構造は、非アーベル周期写像を定義する上での役割を果たし、ホッジフィルトレーションの変動をどのように制御するか？
• RQ5 ∞-幾何的スタックは、古典的な代数的スタックを超えて、代数的構造のモジュライ理論をどのように拡張するか？

主な発見

• アフィネーション関手は、任意のホモトピー型に対して、導来的な普遍性を満たすアフィンスタックを割り当てる普遍的構成を提供する。
• スケマティックなホモトピー型は、グロタンディークのスキマティゼーション問題に対する第二の解であり、任意の基本群を持つ空間に対して有効である。
• 複素射影的多様体に対しては、スケマティックなホモトピー型が、基本群および有理数的ホモトピー型にまで拡張された一般化されたホッジ構造を担う。
• ℓ-adicスケマティックなホモトピー型は連続的なガロア作用を持ち、クリスタリン型はF-イソクリスタル構造を支持する。
• dga構造を quasi-isomorphism で同値とみなす∞-幾何的スタックは、アフィンスタックの貼り合わせによって構成される。
• 非アーベル周期写像は、フィルトレーテッドdga構造を介して定義され、滑らかで射影的な多様体の族におけるホッジフィルトレーションの変動を制御する。