[論文レビュー] Affine walled Brauer algebras

Hebing Rui, Yucai Su|arXiv (Cornell University)|May 2, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、可換環上での無限ランクな結合的代数としてのアフィンウォールド・ブラウアー代数を導入し、一般線型リースーパー代数 𝔤𝔩_{m|n} とのスーパ Schur-Weyl 対称性を確立する。主な貢献は、弱いセルラーシュトラクチャと Kleshchev の二重分割を用いた既約モジュールおよびテンソルモジュールの分解不能直接和成分の分類であり、特定の条件下でレベル2のウォールド・ブラウアー代数が混合テンソルモジュールの自己準同型代数として実現される。

ABSTRACT

A new class of associative algebras referred to as affine walled Brauer algebras are introduced. These algebras are free with infinite rank over a commutative ring containing 1. Then level two walled Brauer algebras over C are defined, which are some cyclotomic quotients of affine walled Brauer algebras. We establish a super Schur-Weyl duality between affine walled Brauer algebras and general linear Lie superalgebras, and realize level two walled Brauer algebras as endomorphism algebras of tensor modules of Kac modules with mixed tensor products of the natural module and its dual over general linear Lie superalgebras, under some conditions. We also prove the weakly cellularity of level two walled Brauer algebras, and give a classification of their irreducible modules over C. This in tur enables us to classify the indecomposable direct summands of the said tensor modules.

研究の動機と目的

• ウォールド・ブラウアー代数のアフィニゼーションとして、新しい結合的代数のクラスを定義すること。
• 複素数体上でのアフィンウォールド・ブラウアー代数と一般線型リースーパー代数 𝔤𝔪_{m|n} の間のスーパ Schur-Weyl 対称性を確立すること。
• Kac モジュール、自然モジュール、およびそれらの双対を含む混合テンソルモジュールの自己準同型代数として、レベル2のウォールド・ブラウアー代数を実現すること。
• レベル2のウォールド・ブラウアー代数の弱いセルラーシュトラクチャを証明し、複素数体上でのその既約モジュールを分類すること。
• この分類を用いて、𝔤𝔲_{m|n} の対応するテンソルモジュールの分解不能直接和成分を同定すること。

提案手法

• アフィンウォールド・ブラウアー代数は、1を含む可換環上で26の定義関係を用いて定義され、ウォールド・ブラウアー代数の一般化である。
• レベル2のウォールド・ブラウアー代数は、パラメータ p, q, m, n を特定したアフィンウォールド・ブラウアー代数の巡回的商として構成される。
• 混合テンソルモジュール V^{igotimes r} ⊗ K_λ ⊗ (V^*)^{igotimes t} 上での相互作用を分析することにより、アフィンウォールド・ブラウアー代数と 𝔤𝔪_{m|n} 間のスーパ Schur-Weyl 対称性を確立する。
• Jucys-Murphy 的な要素を導入し、ウォールド・ブラウアー代数およびその巡回的商の構造を分析する。
• 二重分割とセルラーモジュールの組み合わせ的データを用いて、レベル2のウォールド・ブラウアー代数の弱いセルラーシュトラクチャを証明する。
• Kleshchev の二重分割を用いて既約モジュールを分類し、パラメータ p−q および m,n に対する条件が分類の有効性を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウォールド・ブラウアー代数をアフィン的設定に一般化する新しい結合的代数の構造は何か？
• RQ2 アフィンウォールド・ブラウアー代数と一般線型リースーパー代数 𝔤𝔪_{m|n} の間で、どのようにスーパ Schur-Weyl 対称性が生じるか？
• RQ3 Kac モジュールと自然モジュールおよびその双対を含む混合テンソルモジュールの自己準同型代数として、レベル2のウォールド・ブラウアー代数を実現できるか？
• RQ4 複素数体上でのレベル2のウォールド・ブラウアー代数の既約モジュールの分類は何か？また、その分類はパラメータにどのように依存するか？
• RQ5 既約モジュールの分類は、𝔤𝔪_{m|n} のテンソルモジュールの分解不能直接和成分の分類にどのように対応するか？

主な発見

• アフィンウォールド・ブラウアー代数は、1を含む可換環上で自由かつ無限ランクであり、26の関係で定義される。
• 複素数体上でのアフィンウォールド・ブラウアー代数と一般線型リースーパー代数 𝔤𝔪_{m|n} の間でスーパ Schur-Weyl 対称性が成立する。
• 条件 r + t ≤ min{m, n} の下で、レベル2のウォールド・ブラウアー代数はテンソルモジュール V^{igotimes r} ⊗ K_λ ⊗ (V^*)^{igotimes t} の自己準同型代数として実現される。
• レベル2のウォールド・ブラウアー代数 𝔅_{r,t}^{p,q}(m,n) は弱いセルラーシュトラクチャを有し、これによりその既約モジュールの分類が可能になる。
• 既約モジュールは、0 ≤ f ≤ min{r,t} であるペア (f, λ) で添え字付けられ、λ はパラメータ u₁ = −p, u₂ = m−q および u₁ = q, u₂ = p−n に対する Kleshchev の二重分割である。
• r = t かつ ω₀ = ω₁ = 0 のとき、添え字集合から f = r が除外され、p−q ∉ ℤ ならばすべての二重分割が Kleshchev であり、これにより既約和成分が得られる。