[論文レビュー] Affinoids in the Lubin-Tate perfectoid space and special cases of the local Langlands correspondence in positive characteristic

Kazuki Tokimoto|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Advanced Algebra and Geometry被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、正標数の底体上のLubin-Tate perfectoid空間に含まれる明示的なアフィノイド族を構成し、その形式的モデルの還元におけるコホモロジーが、特定の表現について局所Langlands対応およびJacquet-Langlands対応を実現することを示している。主な結果は、これらの表現が完全に分岐する拡大を伴う最小適切な対によってパラメトライズされることであり、これは本質的に分岐する状況における幾何的実現を提供する。

ABSTRACT

Following Weinstein, Boyarchenko-Weinstein and Imai-Tsushima, we construct a family of affinoids in the Lubin-Tate perfectoid space and formal models such that the cohomology of the reduction of each formal model realizes the local Langlands correspondence and local Jacquet-Langlands correspondence for certain representations. In this paper, the base field is assumed to be of positive characteristic. In the terminology of essentially tame local Langlands correspondence, the representations treated here are characterized as being parametrized by minimal admissible pairs in which the field extensions are totally ramified.

研究の動機と目的

• 正標数の局所体上のLubin-Tate perfectoid空間内に明示的なアフィノイド族を構成すること。
• それらのアフィノイドの形式的モデルを定義し、その還元が局所Langlands対応のコホモロジー的実現をもたらすこと。
• これらの還元のコホモロジーが、特定の表現について局所Jacquet-Langlands対応を実現することを確立すること。
• 関与する表現が、完全に分岐する体拡大を伴う最小適切な対によってパラメトライズされることを特定すること。
• 従来の本質的に分岐する局所Langlands対応における幾何的構成を、正標数の設定へと拡張すること。

提案手法

• Weinstein、Boyarchenko-Weinstein、Imai-Tsushimaによって開発されたperfectoid空間および形式的モデルの枠組みを活用すること。
• 正標数のp進体上の局所群に付随するp-adic群に対して、Lubin-Tate perfectoid空間内にアフィノイド開部分集合の族を構成すること。
• 底体の整数環上にその形式的モデルを定義し、それが固有かつ平坦であることを保証すること。
• これらの形式的モデルの特別ファイバー（還元）を分析し、そのコホモロジー群にアクセスすること。
• 還元のコホモロジーを用いて、Weil-Deligne群の無限可約表現およびそれに対応するGL(n)の表現を、局所Langlands対応を通じて実現すること。
• 関連する体拡大が完全に分岐する最小適切な対によってパrameter化される表現に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてperfectoid空間を用いて、本質的に分岐する状況における局所Langlands対応を幾何的に実現できるか？
• RQ2 Lubin-Tate perfectoid空間内のどの特定のアフィノイド族が、局所Langlands対応のコホモロジー的実現をもたらすか？
• RQ3 これらのアフィノイドの形式的モデルの還元が、どのようにして局所Langlands対応およびJacquet-Langlands対応の両方を実現するか？
• RQ4 完全に分岐する拡大を伴う最小適切な対が、コホモロジーを介して実現される表現をパラメトライズする役割を果たすのはどのような点か？
• RQ5 正標数の底体設定が、構成およびそれらに続くコホモロジー的実現にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 構成された各アフィノイドの形式的モデルの還元におけるコホモロジーは、特定の表現について局所Langlands対応を実現する。
• 同じコホモロジー群は、対応する表現について局所Jacquet-Langlands対応を実現する。
• 関与する表現は、体拡大が完全に分岐する最小適切な対によってパラメトライズされる。
• 幾何的構成により、正標数における本質的に分岐する局所Langlands対応が新たな形で実現される。
• この方法により、従来の特徴標数0における結果が、perfectoid幾何を通じて正標数へと成功裏に拡張された。
• 形式的モデルが整数環上に固有かつ平坦であることが示され、良好なコホモロジー的性質が保証された。