[論文レビュー] Against Pointillisme about Geometry

Jeremy Butterfield|ArXiv.org|Dec 7, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、幾何学的および物理的性質が時空点に内在するとする『ポイントイリズム』（pointillisme）という学説に挑戦する。点に内在する性質としてのベクトルおよびテンソル構造（例：計量、接ベクトル）は、本質的に点から外在的であると主張する。質量密度を点における原始的性質ではなく、領域に基づく測度から導出される量とみなすことにより、連続体力学における概念的パラドックスが解消され、幾何学および時空構造におけるポイントイリズムの形而上的基盤が揺るがされる。

ABSTRACT

This paper forms part of a wider campaign: to deny pointillisme. That is the doctrine that a physical theory's fundamental quantities are defined at points of space or of spacetime, and represent intrinsic properties of such points or point-sized objects located there; so that properties of spatial or spatiotemporal regions and their material contents are determined by the point-by-point facts. More specifically, this paper argues against pointillisme about the structure of space and-or spacetime itself, especially a paper by Bricker (1993). A companion paper argues against pointillisme in mechanics, especially about velocity; it focusses on Tooley, Robinson and Lewis. To avoid technicalities, I conduct the argument almost entirely in the context of ``Newtonian'' ideas about space and time. But both the debate and my arguments carry over to relativistic, and even quantum, physics.

研究の動機と目的

• 幾何学的および物理的性質が時空点に内在するとするという形而上的学説『ポイントイリズム』を否定すること。
• 計量テンソルや接ベクトルといった性質が、点に内在的であると仮定すると概念的不整合が生じることを示すこと。
• 質量密度を領域に基づく質量測度から導出される概念とみなすことにより、連続体力学におけるパラドックスを回避できることを示すこと。
• ポイントイリズムが否定されれば、非標準解析や幾何学の他の異端的基礎理論は、もはや正当化されないことを主張すること。
• 空間および時空の構造が本質的に外在的であることを確立すること、すなわち点ごとの内在的性質ではないこと。

提案手法

• 均一な伸張を伴う物質領域の思考実験を用いて、点における質量密度を原始的性質とみなした場合に生じる概念的問題を分析する。
• 測度論的推論を適用し、縮小する領域における質量/面積比の極限として質量密度を定義することで、それを領域に基づく質量測度から導出する。
• 完全な技術的詳細を伴わず、ラドン＝ニコディムの定理の精神を借りて、この導出された密度アプローチの数学的整合性を正当化する。
• ブリッカーが非標準解析と無限小量を用いてポイントイリズムを救済しようとした試みと対比する。
• 質量が点ではなく領域に対して原始的である場合にのみ、変形における質量保存が自然に説明できることを示す。
• 長さや計量テンソルの値といった外在的性質は、非標準解析でさえも、点の内在的性質に還元できないことを主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量テンソルのようなベクトル的およびテンソル的幾何構造が、ポイントイリズムが主張するように時空点に内在的であることは可能か？
• RQ2 質量密度を点における原始的性質とみなした場合、どのような概念的パラドックスが生じるのか？
• RQ3 非標準解析は、幾何学におけるポイントイリズムを救済するための妥当な基礎となり得るのか、それともポイントイリズムが否定されれば無意味になるのか？
• RQ4 質量密度が点ではなく領域に基づいて定義される場合に比べ、点における定義が質量保存を一貫して説明できるか？
• RQ5 長さや曲率といった性質が点に内在的でないならば、時空における幾何的構造の形而上的な立場はいかなるものか？

主な発見

• 質量密度は点の原始的内在的性質として成立できない。なぜなら、空間的変換に応じて変化する必要があるが、点自身がその変化を『知る』手段を持たないからである。
• 均一な拡張において点の密度が減少するという逆説的状況は、質量を点ではなく領域に対して原始的測度とみなす場合にのみ解消される。
• 縮小する領域における質量と面積の比の極限（すなわち、ρ(x,y;t) = lim m(R,t)/a(R)）として質量密度を定義することで、質量保存と整合的であることが保証される。
• 標準的な計量テンソルは点から外在的である。なぜなら、その値は点自身の性質だけでなく、周囲の領域の幾何構造に依存するからである。
• 非標準解析はポイントイリズムを支持しない。なぜなら、ベクトル的またはテンソル的性質を点に内在的にするものではないからである。
• 時空幾何の完全な構造、すなわち曲率や接続を含むものも、本質的に外在的であり、点ごとの内在的事実に還元することはできない。