[論文レビュー] Ageing in the parabolic Anderson model

Peter Mörters, Marcel Ortgiese+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ℤ^d 上の重尾 i.i.d. ポテンシャルを伴う放物型アンダーソンモデルにおける老化を確立し、解のプロファイルが次第に長い時間間隔にわたりほぼ一定のままであることを示している。弱老化および強老化の極限を証明し、ピーク位置と成長率の関数的スケーリング極限を導出し、積分テストを用いてプロファイル変化までの残留時間の概確率的上界を同定している。

ABSTRACT

The parabolic Anderson model is the Cauchy problem for the heat equation with a random potential. We consider this model in a setting which is continuous in time and discrete in space, and focus on time-constant, independent and identically distributed potentials with polynomial tails at infinity. We are concerned with the long-term temporal dynamics of this system. Our main result is that the periods, in which the profile of the solutions remains nearly constant, are increasing linearly over time, a phenomenon known as ageing. We describe this phenomenon in the weak sense, by looking at the asymptotic probability of a change in a given time window, and in the strong sense, by identifying the almost sure upper envelope for the process of the time remaining until the next change of profile. We also prove functional scaling limit theorems for profile and growth rate of the solution of the parabolic Anderson model.

研究の動機と目的

• 時間定数の i.i.d. 重尾ポテンシャルを伴う放物型アンダーソンモデルの長期的時間的ダイナミクスを分析すること。
• 解のプロファイルが次第に変わらなくなる時間間隔が延長されることで定義される老化の存在を確立すること。
• 特に、次のプロファイル変化までの待機時間に注目し、弱および概確率的意味での老化を特徴づけること。
• 解のピーク位置と成長率の関数的スケーリング極限定理を導出すること。

提案手法

• 尾指数 α > d のパレート分布に従う確率変数 ξ(z) を持つ確率的ポテンシャルを伴う放物型アンダーソン方程式を用いる。
• U(t) を全質量とする解のプロファイル v(t,z) = u(t,z)/U(t) を分析し、その時間的安定性に注目する。
• 極値理論および点過程の収束を用いて、解のピーク位置とその成長率を研究する。
• λ(t) を用いた時間スケーリング変換を導入し、関数的極限設定でプロセスを分析する。
• 残留時間の概確率的上界を特徴づけるために積分テストを用いる。
• 弱収束技法およびラプラス関数形式の収束を用いて、関数的スケーリング極限を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間定数の i.i.d. 重尾ポテンシャルを伴う放物型アンダーソンモデルは、プロファイル安定性の時間間隔が増加することによって定義される老化を示すか？
• RQ2 時間窓 [t, t + θt] の間に解のプロファイルが現在の状態から ε-距離以内にとどまる確率の漸近的確率は何か？
• RQ3 次のプロファイル変化までの待機時間の概確率的上界は何か？ そしてそれはどのように特徴づけられるか？
• RQ4 解のピーク位置と成長率の進化を支配する関数的スケーリング極限は何か？
• RQ5 時間 t → ∞ の際に、適切な正規化のもとで解のプロファイルと成長率はどのように振る舞うか？

主な発見

• 時間窓 [t, t + θt] の間に解のプロファイルが現在の状態から ε-距離以内にとどまる確率は、定数 I(θ) ∈ (0,1) に収束し、線形時間スケールにおける弱老化が確認される。
• 次のプロファイル変化までの待機時間の概確率的上界は、尾指数 α と次元 d を含む積分テストによって特徴づけられる。
• 適切にスケーリングされた解のピーク位置は、安定的劣性過程とブラウン運動成分を含む極限過程に弱収束する。
• a_T で正規化された解の成長率は、ピーク位置と決定的ドリフト項を含む関数的極限に弱収束する。
• ピーク位置と成長率の連続過程は、関数的スケーリング極限定理を満たし、極限過程は安定過程と決定的補正項を含む。
• ラプラス関数形式の収束を用いてプロファイル収束を確立し、スケーリングされたプロファイルが極限ピーク過程に依存する極限確率変数に法則収束することを示している。