[論文レビュー] Aggregation functions for decision making

Jean‐Luc Marichal|ArXiv.org|Jan 27, 2009

Multi-Criteria Decision Making参考文献 91被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、意思決定における集約関数の選択および特徴付けのための公理的枠組みを提示し、異なる測定スケール下でのその性質に注目する。スケールが順序尺度の場合、格子多項式（lattice polynomials）およびその変換が、意味的で非減少的、または連続的な関数のコアなクラスを形成することを同定する。対称的な格子多項式は、中央値などの順序統計量と同等である。

ABSTRACT

Aggregation functions are generally defined and used to combine several numerical values into a single one, so that the final result of the aggregation takes into account all the individual values in a given manner. Such functions are widely used in many well-known disciplines such as statistics, economics, finance, and computer science. In this paper we confine ourselves to the use of aggregation functions in decision making.

研究の動機と目的

• 意思決定文脈で用いられる集約関数の体系的で公理的な分類を提供すること。
• 特に順序尺度、区間尺度、比尺度下で、どの集約関数が意味的であるかを特定すること。
• 入力と出力の順序構造を保つ非減少的および連続的集約関数を完全に特徴付けること。
• 格子多項式およびその変換が、順序尺度下での意味的集約をモデル化する上で果たす役割を明確にすること。
• 集約関数が順序統計量（例：中央値）やその変換に簡約される条件を確立すること、特に対称性および同一性の条件下で。

提案手法

• 連続性、対称性、単調性、スケール不変性などの性質に基づいて、集約関数を公理的に分類する。
• 関数の振る舞いがスケールの許容可能な変換に対して不変であることを保証するため、意味的性（meaningfulness）の概念を適用する。
• 変数のminおよびmax演算から構成される式である格子多項式（lattice polynomials）を用いて関数を特徴付ける。
• 格子多項式の構造を、正規和形（disjunctive normal form）で表現するため、ファジィ測度（γ ∈ Γ_N）の使用を導入する。
• 関数 g: ℝ → ℝ に対する変換が、意味的関数のクラスを一般化する影響を分析する。
• チョケット積分およびスゲノ積分の結果を応用し、非加法的測度下での古典的集約モードを統一的かつ拡張的に扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力と出力が同一の順序尺度で測定される場合、どの集約関数が意味的であるか？
• RQ2 順序尺度下で、非減少的または連続的集約関数をどのように完全に特徴付けることができるか？
• RQ3 格子多項式が、順序変換に対して不変である集約関数を表現する上で果たす役割は何か？
• RQ4 集約関数が順序統計量（例：中央値）やその変換に簡約される条件は何か？
• RQ5 対称性および同一性が、順序尺度下での意味的集約関数のクラスをどのように制約するか？

主な発見

• 同一の入出力順序尺度下で非減少的かつ意味的である集約関数は、ある γ ∈ Γ_N に対して格子多項式 L_γ に限り、一致する。
• 同一の入出力順序尺度下で連続的かつ意味的である集約関数は、正確に格子多項式 L_γ に一致する。
• 定数関数または厳密に単調増加（減少）関数 g による変換を受けた非減少的かつ意味的関数は、A = g ∘ L_γ の形に表される。
• 順序尺度下で連続的かつ意味的である関数は、g が連続的かつ厳密に単調な関数である場合、A = g ∘ L_γ の形に限り、一致する。
• 対称的で非減少的かつ意味的である関数は、ある k ∈ N および g が定数または厳密に増加関数である場合、g ∘ OS_k に一致する。
• 対称的で連続的かつ意味的である関数は、g が連続的かつ厳密に単調な関数である場合、正確に g ∘ OS_k の形に一致する。