[論文レビュー] AIR algebraic multigrid for a space-time hybridizable discontinuous Galerkin discretization of advection(-diffusion)

Abdullah A. Sivas, Ben S. Southworth+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 56被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、移流優勢の移流・拡散問題に対する、すべての時刻を一度に扱う（all-at-once）空間時間ハイブリッド不連続ガレルキン（HDG）離散化のためのプリコンディショナとして、近似理想制限（AIR）代数的多重グリッド（AMG）を提案する。時間依存問題を (d+1) 次元の空間時間内に定常問題として扱うことで、AIR は双曲型特徴と一致する粗化を実現し、ロバストでスケーラブルな収束を達成する。本手法は、均一な空間時間メッシュおよび適応的空間時間メッシュの両方において、時間依存領域を含む場合でも高速かつスケーラブルな収束を示す。

ABSTRACT

This paper investigates the efficiency, robustness, and scalability of approximate ideal restriction (AIR) algebraic multigrid as a preconditioner in the all-at-once solution of a space-time hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) discretization of advection-dominated flows. The motivation for this study is that the time-dependent advection-diffusion equation can be seen as a "steady" advection-diffusion problem in $(d+1)$-dimensions and AIR has been shown to be a robust solver for steady advection-dominated problems. Numerical examples demonstrate the effectiveness of AIR as a preconditioner for advection-diffusion problems on fixed and time-dependent domains, using both slab-by-slab and all-at-once space-time discretizations, and in the context of uniform and space-time adaptive mesh refinement. A closer look at the geometric coarsening structure that arises in AIR also explains why AIR can provide robust, scalable space-time convergence on advective and hyperbolic problems, while most multilevel parallel-in-time schemes struggle with such problems.

研究の動機と目的

• すべての時刻を一度に扱う空間時間 HDG 離散化のための AIR AMG が、移流・拡散問題に適用される際のロバスト性とスケーラビリティを調査すること。
• 並列時間ソルバーを用いた移流優勢および双曲型問題の効率的解法という課題に取り組むこと。
• 均一メッシュおよび適応メッシュの両方を用いて、固定領域および時間依存領域の両方で AIR AMG の有効性を実証すること。
• 双曲型問題において従来のマルチレベル並列時間手法に比して AIR が優れている理由を、幾何的粗化構造の観点から説明すること。

提案手法

• 時間依存移流・拡散方程式を、空間時間 HDG 離散化を用いて (d+1) 次元空間時間内に定常問題として定式化する。
• すべての時刻を一度に扱う空間時間定式化から生じる大規模で非対称な線形方程式系に、AIR 代数的多重グリッド法を適用する。
• HDG システムの固有構造を保つために、ブロック構造の行列処理を用い、ブロック逆数スケーリングおよびブロックガウス＝ザイデル緩和を実装する。
• 速度場にサイクルが存在しない場合、空間時間 HDG 行列はトポロジカル順序付けによってブロック下三角行列に変換可能であり、これにより正確なプロセス内解法が可能になる。
• 各プロセスに沿った特徴線に沿って正確に逆行列を計算するブロック暗黙的緩和戦略を実装し、粗グリッドの整合性を補完する。
• ZZ 誤差推定器を用いた空間時間適応メッシュ細分化（AMR）を実装し、内部層を的確に捉えるローカルに細分化されたメッシュを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AIR AMG は、移流優勢問題のすべての時刻を一度に扱う空間時間 HDG 離散化に対して、ロバストでスケーラブルなプリコンディショナとして機能するか？
• RQ2 なぜ AIR AMG は、多くの並列時間手法が失敗する双曲型問題においてもスケーラブルな収束を達成するのか？
• RQ3 HDG 行列のブロック構造は、異なる緩和戦略を用いた場合に AIR AMG の性能にどのように影響を与えるか？
• RQ4 時間依存領域および空間時間適応メッシュ細分化の下でも、AIR AMG はロバストな収束を維持できるか？
• RQ5 粗化が空間時間特徴と一致することによって、ソルバーの有効性がどのように向上するか？

主な発見

• すべての問題サイズにおいて、10～15 回の BiCGSTAB 反復でスケーラブルな収束が達成され、1000万 DOF を超える最大の問題に対しても同様である。
• ブロック逆数スケーリングを用いることで、スケーリングなしの場合と比較して反復回数が 3 倍以上削減され、行列のブロック構造を保持することが重要であることが示された。
• プロセス内解法緩和を用いることで、前方ガウス＝ザイデル法と比較して反復回数が半減し、128 コアでほぼ完全なスケーラビリティが達成された。
• サイクルのない速度場を有する純粋な双曲型問題では、スケーリング後に行列が下三角行列に変換され、トポロジカル順序付けとガウス＝ザイデル緩和により正確な解法が可能になる。
• 時間依存領域および空間時間 AMR の下でも、収束がロバストに維持され、メッシュの運動および局所的細分化が自然に処理された。
• AIR AMG の成功は、空間時間特徴と一致する粗化を実現できる能力に起因し、古典的な空間および時間分離型多重グリッド法にはこの特徴が欠如している。