[論文レビュー] Aitchison's Compositional Data Analysis 40 Years On: A Reappraisal

Michael Greenacre, Eric Grunsky+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2022

Geochemistry and Geologic Mapping被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Aitchisonの組換えデータ解析（CoDA）の基礎的業績から40年が経過した現在、正確な部分組換えの一貫性および等長性が厳密に必要ではないと再評価し、実用上は準一貫性および準等長性で十分であると主張する。実際、幾何学的および遺伝的データにおいて、複雑な等長対数比法よりも単純な対比較対数比やBox-Coxべき乗変換が同等の性能を示すことが示され、等長変換が有効なCoDAに必須であるという広く一般的な仮定に疑問を呈する。

ABSTRACT

The development of John Aitchison's approach to compositional data analysis is followed since his paper read to the Royal Statistical Society in 1982. Aitchison's logratio approach, which was proposed to solve the problematic aspects of working with data with a fixed sum constraint, is summarized and reappraised. It is maintained that the properties on which this approach was originally built, the main one being subcompositional coherence, are not required to be satisfied exactly -- quasi-coherence is sufficient, that is near enough to being coherent for all practical purposes. This opens up the field to using simpler data transformations, such as power transformations, that permit zero values in the data. The additional property of exact isometry, which was subsequently introduced and not in Aitchison's original conception, imposed the use of isometric logratio transformations, but these are complicated and problematic to interpret, involving ratios of geometric means. If this property is regarded as important in certain analytical contexts, for example unsupervised learning, it can be relaxed by showing that regular pairwise logratios, as well as the alternative quasi-coherent transformations, can also be quasi-isometric, meaning they are close enough to exact isometry for all practical purposes. It is concluded that the isometric and related logratio transformations such as pivot logratios are not a prerequisite for good practice, although many authors insist on their obligatory use. This conclusion is fully supported here by case studies in geochemistry and in genomics, where the good performance is demonstrated of pairwise logratios, as originally proposed by Aitchison, or Box-Cox power transforms of the original compositions where no zero replacements are necessary.

研究の動機と目的

• Aitchisonの組換えデータ解析（CoDA）の基礎的原則を、40年間の発展を経て再評価すること。
• CoDAにおいて正確な部分組換え一貫性および等長性が必須であるという主張に反論し、実用的応用においては近似的満たし（準一貫性および準等長性）で十分であると主張すること。
• 高次元組換えデータにおいて、単純な変換（対比較対数比およびBox-Coxべき乗変換）と複雑な等長対数比法の性能を比較評価すること。
• カイ二乗標準化とBox-Cox変換を組み合わせた対応分析が、遺伝的および地球化学的データセットにおいて幾何的構造をいかに保持するかを示すこと。
• 等長対数比変換が、現代の高次元文脈においても、健全なCoDA実践の前提条件ではないという実証的証拠を提供すること。

提案手法

• 変換性能の評価に際し、6147成分のTellus地球化学データセットおよび6147非ゼロ遺伝子を有する単細胞チムチール遺伝子発現データセットを事例として用いる。
• 組換えデータに対して対応分析（CA）のカイ二乗標準化を適用し、その後、分散の安定化およびゼロ値の処理を目的としてBox-Coxべき乗変換（例：平方根、λ = 0.5）を実施する。
• ランダムに抽出した部分組換えの幾何的構造と全組換えの幾何的構造との相関を測定することで、部分組換え一貫性をProcrustes解析を用いて評価する。
• 変換された部分組換えと全組換えとの間のProcrustes相関を用いて、等長性への近さ（準等長性）を定量化する。
• 解釈可能性および性能の観点から、Aitchisonの元来の対比較対数比と等長対数比（ilr）およびピボット対数比変換を比較する。
• 多項分布モデルを用いて、単位和制約下での部品間の理論的相関を解析的に導出し、次元が増加するに従い0に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な部分組換え一貫性が有効な組換えデータ解析に必要であるのか、それとも準一貫性で十分なのか？
• RQ2 対比較対数比やBox-Coxべき乗変換といった単純な変換が、高次元組換えデータにおいて等長対数比変換と同等の性能を発揮できるのか？
• RQ3 組換えデータの次元が高くなると、部分組換え一貫性の度合いにどのような影響が生じるか。また、データサイズの変化に伴いその影響は変化するか？
• RQ4 カイ二乗標準化対応分析とBox-Cox変換が、高次元組換えデータにおいて幾何的構造をどの程度保持するのか？
• RQ5 特に数千もの成分を有するゲノムおよびマイクロバイオーム研究のような現代的応用において、CoDAにおける正確な等長性の要請は正当化されるべきか？

主な発見

• 6147成分を有する高次元組換えデータの部分組換えは、低次元のものよりも顕著に正確な一貫性に近い。ランダムに抽出した100個の5201成分の部分組換えのうち90%で、Procrustes相関が0.999以上に達する。
• 6147遺伝子を有する組換えにおいて、最も豊富な2つの部品間の多項分布相関は、部分組換えが2000遺伝子を超えると約-0.1に低下し、制約効果が薄れることが示された。
• カイ二乗標準化CAに後続してBox-Cox変換（λ = 0.5、平方根）を適用することで、部分組換え一貫性が顕著に向上し、変換なしのデータに比べてより高いProcrustes相関が得られた。
• 対比較対数比および準一貫性を持つ変換は、準等長性を達成しており、Procrustes相関が1に近く、正確な等長性が実用的性能に必須でないことを示した。
• 等長対数比（ilr）変換は、良好なCoDA実践の前提条件ではない。対比較対数比やBox-Cox変換といった単純な手法が、地球化学的および遺伝的データセットの両方で安定して高い性能を示した。
• 次元が増加するに従い、単位和制約が部品間相関に与える影響は薄れ、高次元CoDAにおいて単純で解釈性の高い変換の使用が正当化される。