[論文レビュー] Akbulut's corks and h-cobordisms of smooth simply connected 4-manifolds

Rob Kirby|ArXiv.org|Dec 4, 1997

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、4-多様体間の滑らかで単連結な5次元h-コボルディズムが、コンパクトな可縮5-多様体（「アクブリュトのコルト」と呼ばれる）を含み、その補集合が積である部分h-コボルディズムを含むことを確立している。主な結果は、非自明なh-コボルディズムが、境界上でその可縮4-多様体を反転写像でねじることによって生じ、この構造が特にホモトピー4次球面を含む4-多様体の異種滑らか構造を説明することにある。

ABSTRACT

This is primarily an exposition, combining work of several authors (Curtis, Hsiang, Freedman, Stong, Matveyev, and Bizaca), of the proof that a smooth 5-dimensional h-cobordism between simply connected 4-manifolds is a product off of a contractible piece which itself is diffeomorphic to the 5-ball.

研究の動機と目的

• 4-多様体間の滑らかで単連結な5次元h-コボルディズムの構造を理解すること。
• 全体のh-コボルディズムの非自明性を捉える標準的な部分h-コボルディズム（アクブリュトのコルト）を同定すること。
• 異種滑らか構造、特にホモトピー4次球面を含む4-多様体が、境界上で反転写像によるねじりによって可縮4-多様体をねじることで生じることを示すこと。
• ハンドル体技法とモース理論を用いて、以前のコルトの存在証明を統一的かつ明確化すること。
• 可縮4-多様体内の自明な正規バンドルを持つ2-球面の集合を用いて、高ランクの例へのコルト構成を一般化すること。

提案手法

• 5次元h-コボルディズムにモース関数を用い、0-、1-、2-、3-、4-、5-ハンドルを持つハンドル体構造に分解する。
• 多様体の連結性を用いて0-ハンドルと5-ハンドルをキャンセルし、1-、2-、3-、4-ハンドルのみを含むハンドル構造に還元する。
• 1-および2-ハンドルとそれらの安定化を含む可縮5-多様体$ A $を特定し、部分h-コボルディズム$ A^5 $を構成する。
• ハンドルスライドとハンドルキャンセリングを適用し、$ A $の境界が単連結であり、$ M^5 $における$ A $の補集合が積$ (M_0 - \text{int}A_0) \times [0,1] $に微分同相であることを保証する。
• ハンドル$ A $内の2-ハンドルが中間レベルの基本群を消去することを用い、キャンセリング1-2ペアによる安定化で基本群の関係を制御する。
• 可縮4-多様体$ B_{1/2} $に$ 2n $個の適切に埋め込まれた2-ボールを埋め込み、それらの境界に0フレームの2-ハンドルを加え、得られた2-球面に3-ハンドルを付加することでh-コボルディズムを構成することにより、構成を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかで単連結な5次元h-コボルディズムは、積h-コボルディズムと可縮部分h-コボルディズム（コルト）に分解可能か？
• RQ2 h-コボルディズムの非自明性は、コンパクトな可縮5-多様体である部分複体に局在化可能か？その残り部分は積か？
• RQ3 任意のホモトピー4次球面は、$ S^4 $から可縮4-多様体$ A_0 $を切り取り、その境界上で反転写像を用いて再接着することで得られるか？
• RQ4 自明な正規バンドルを持つ複数の2-球面を用いて、アクブリュトのコルトの構成を高ランクの例へ一般化可能か？
• RQ5 コルトの境界における積構造が、コルト自体へ拡張される条件は何か？

主な発見

• 任意の滑らかで単連結な5次元h-コボルディズム$ M^5 $（$ M_0 $と$ M_1 $の間）は、部分h-コボルディズム$ A^5 $を含み、$ A_0 $、$ A $、$ A_1 $はコンパクトな可縮4-および5-多様体である。
• 補集合$ M^5 - \text{int}(A^5) $は$ (M_0 - \text{int}(A_0)) \times [0,1] $に微分同相であり、積h-コボルディズムである。
• 部分h-コボルディズム$ A^5 $は、$ M^5 - A^5 $が単連結になるように選べるため、コルトが基本群の複雑さを導入しない。
• $ A^5 $は$ B^5 $に微分同相であるが、h-コボルディズム構造を保存するとは限らない。また、$ A_0 \times I $、$ A_1 \times I $も$ B^5 $に微分同相である。
• 境界微分同相$ \tau: \bar{A}_0 \to \bar{A}_1 $は反転写像であり、$ A $へ拡張可能であり、$ A_0 $と$ A_1 $は境界上で$ \tau $に制限される写像により微分同相である。
• 可縮4-多様体$ A_0 $を$ S^4 $から切り取り、境界$ \bar{A}_0 $上で反転写像を用いて再接着することで、ホモトピー4次球面$ \rho^4 $を構成可能であり、これはアクブリュトの元々の構成を一般化する。